40、动力系统中的吸引子维度估计与继承性系统研究

动力系统中的吸引子维度估计与继承性系统研究

1. 李雅普诺夫范数与反应动力学

1.1 李雅普诺夫范数的定义与耗散性条件

在动力系统研究中，李雅普诺夫范数起着重要作用。对于具有权重的 $l_1$ 范数，在 $E$ 的第 $k$ 个外幂中，权重集合为 ${w_{i_1i_2…i_k} > 0, i_1 < i_2 <… < i_k}$，向量 $z$ 的范数定义为：
$|z| = \sum_{i_1 < i_2 <… < i_k} w_{i_1i_2…i_k}|z_{i_1i_2…i_k}|$
算子 $\wedge^k D_Ax(t)$ 在带权重的 $l_1$ 范数下的耗散性条件为：
$a_{i_1i_1} + a_{i_2i_2} +… + a_{i_ki_k} < 0$
$w_{i_1i_2…i_k}|a_{i_1i_1} + a_{i_2i_2} +… + a_{i_ki_k}| \geq \sum_{l = 1}^{k} \sum_{j, j \neq i_1, i_2,…i_k} w_{l,j}^{i_1i_2…i_k}|a_{ji_l}|$
对于任意的 $i_1 < i_2 <… < i_k$ 成立，其中 $w_{l,j}^{i_1i_2…i_k} = w_I$，多指标 $I$ 由指标 $i_p (p \neq l)$ 和 $j$ 组成。

1.2 无限维系统的相关问题

无限维系统中，关于 $E$ 的外幂的体积收缩和李雅普诺夫范数问题包含三个部分：
- 几何部分：关注算子族同时耗散性的范数选择。
- 拓扑部分：涉及