25、弛豫轨迹的全局近似方法解析

弛豫轨迹的全局近似方法解析

1. 基本概念与参数定义

在探讨弛豫轨迹的近似问题时，首先引入一些关键参数。定义如下：
- 初始状态的熵产生：$\sigma_0 = - \int Q_0(\Gamma) \ln f_0(\Gamma) d\Gamma$
- 归一化因子：$q = \int_{\Gamma^+} Q^+ 0(\Gamma) d\Gamma = \int {\Gamma^-} Q^- 0(\Gamma) d\Gamma$
- 初始状态相密度的最大损失：$\alpha = \sup {\Gamma \in \Gamma^-} \frac{Q^- 0(\Gamma)}{f_0(\Gamma)}$
- 初始状态相密度的总增益：$\beta = \int {\Gamma^+} \frac{(Q^+_0(\Gamma))^2}{qf_0(\Gamma)} d\Gamma$

这些参数的有限性对初始状态 $f_0$ 施加了限制，使得后续的估计（如 (9.32)）有效。

2. 近似轨迹的构建

考虑空间无关的弛豫方程 $\partial_t f = Q(f)$，其中 $Q(f)$ 是一个动力学算子（在玻尔兹曼方程中为碰撞积分）。假设该方程描述了向全局平衡态 $f^0(\Gamma)$ 的弛豫过程，且熵 $S_B(f)$ 沿解单调增加。

设 $c_1(\Gamma), \cdots, c_k(\Gamma)$ 为守恒密度，即 $\int c_i Q(f) d\Gamma = 0$，则 $C_i(f) = \int c_i f d\Gamma$