20、从格拉德方程看流体动力学：精确解与近似方法

从格拉德方程看流体动力学：精确解与近似方法

1. 引言

在流体动力学的研究中，格拉德方程为我们理解流体的行为提供了重要的理论基础。而查普曼 - 恩斯库格方法则是处理这些方程的一种有效手段。本文将深入探讨查普曼 - 恩斯库格展开的精确求和以及部分求和方法，以及它们在流体动力学中的应用。

2. 三维 10 矩格拉德方程与查普曼 - 恩斯库格展开

2.1 三维 10 矩格拉德方程

考虑三维线性化的 10 矩格拉德方程，其中 (p) 和 (u) 分别是压力和平均通量相对于其平衡值的无量纲偏差，(\sigma) 是无量纲应力张量。方程如下：
(\begin{cases}
\partial_t p = -\frac{5}{3}\nabla\cdot u \
\partial_t u = -\nabla p - \nabla\cdot\sigma \
\partial_t \sigma = -\nabla u - \frac{1}{\epsilon}\sigma
\end{cases})
这些方程描述了流体动力学变量 (u) 和 (p) 与非流体动力学变量 (\sigma) 的耦合，适合应用查普曼 - 恩斯库格方法。

2.2 查普曼 - 恩斯库格展开

应用查普曼 - 恩斯库格方法到上述方程，应力张量 (\sigma) 可以表示为：
(\sigma = \sum_{n = 0}^{\infty}\epsilon^{n + 1}\sigma^{(n)})
其中系数 (\sigma^{(n)}) 由以下递推过程确定：
(\sigma^{(n