19、从格拉德方程推导流体动力学：精确解

从格拉德方程推导流体动力学：精确解

1. 线性化格拉德方程的查普曼 - 恩斯库格方法

为了完整起见，我们先引入线性化的格拉德方程以及适用于它们的查普曼 - 恩斯库格方法。我们用 $\rho_0$、$T_0$ 和 $u = 0$ 表示密度、温度和平均速度的固定平衡值（在适当的伽利略参考系中），而 $\delta\rho$、$\delta T$ 和 $\delta u$ 是流体动力学量相对于其平衡值的小偏差。格拉德矩方程包含与温度相关的粘度系数 $\mu(T)$，为方便起见，我们写成 $\mu(T) = \eta(T)T$。$\eta(T)$ 的函数形式取决于粒子相互作用模型的选择，例如，对于麦克斯韦分子，$\eta$ 为常数；对于硬球，$\eta \sim \sqrt{T}$。

我们采用玻尔兹曼常数 $k_B$ 和粒子质量 $m$ 都等于 1 的单位制，并引入以下无量纲变量系统：
[
\begin{cases}
u = \frac{\delta u}{\sqrt{T_0}} \
\rho = \frac{\delta \rho}{\rho_0} \
T = \frac{\delta T}{T_0} \
x = \frac{\rho_0}{\eta(T_0)\sqrt{T_0}}x’ \
t = \frac{\rho_0}{\eta(T_0)}t’
\end{cases}
]
其中 $x’$ 是空间坐标，$t’$ 是时间。三维十三矩格拉德方程在平衡附近线性化后，用上述无量纲变量表示如下：
[
\begin{cases}
\partial_t\rho = -\nabla\cdo