15、探索网络方程、不等式与位置不变量：原理与应用

探索网络方程、不等式与位置不变量：原理与应用

1. 网络方程与不等式基础

在研究系统状态特性时，网络方程和不等式是重要的工具。对于一个系统网络，每个位置 $p$ 可看作一个变量，其取值范围为 ${0, 1}$。状态 $a$ 由其特征函数 $a : P^{\Sigma} \to {0, 1}$ 表示，当 $p \in a$ 时，$a(p) = 1$；当 $p \notin a$ 时，$a(p) = 0$。

可以构建形如 $n_1 \cdot p_1 + \cdots + n_k \cdot p_k = m$ 和 $n_1 \cdot p_1 + \cdots + n_k \cdot p_k \geq m$ 的方程和不等式。如果网络 $\Sigma$ 的每个可达状态的特征函数能求解这些方程和不等式，那么它们在 $\Sigma$ 中是有效的。

下面是相关定义的详细说明：
- 特征函数 ：对于状态 $a \subseteq P^{\Sigma}$，其特征函数 $a : P^{\Sigma} \to {0, 1}$ 定义为：若 $p \in a$，则 $a(p) = 1$；若 $p \notin a$，则 $a(p) = 0$。
- $\Sigma$-方程与 $\Sigma$-不等式 ：设 ${p_1, \cdots, p_k} \subseteq P^{\Sigma}$，$p_1, \cdots, p_k$ 为取值于 ${0, 1}$ 的变量，$n_1, \cdots, n_k, m \in \mathbb{Z}$。则 $\epsilon : n_1 \cdot p_1 + \cdots +