32、量子建模场理论与学习的基本限制

量子建模场理论与学习的基本限制

1. 量子建模场理论（QMFT）概述

量子建模场理论（QMFT）的量子概率 $|C_{kn}|^2$ 与经典 MFT 具有相似的函数形式。这是因为量子系统的基本特性是在多个状态间概率分布，类似于 MF 系统通过不同概念模型的竞争达到概率分布。若特定参数形状很重要，可通过选择合适形状的 ψ 波函数来控制。

世界状态在 QMFT 状态下的正确编码，应是 QMF 系统与外部世界相互作用的量子动力学结果，该相互作用将外部信息编码到 QMF 系统中。量子动力学的运动方程由哈密顿算符（希尔伯特空间中的矩阵）给出。接下来将定义哈密顿算符，使 QMF 系统的动力学能解决与经典 MFT 相同的问题。下面考虑两种量子系统：一是向吉布斯分布演化的非平衡量子统计系统，二是确定性哈密顿量子动力系统。

1.1 吉布斯量子建模场系统（GQMF）

为使 QMFT 动力学产生吉布斯分布，按如下方式定义哈密顿算符。该系统的动力学变量是未知参数 ${S_a^k}$，数据值 $X(n)$（$n = 1, \ldots, N$）是固定的。根据量子统计物理原理，通过哈密顿算符与概率密度函数（pdf）的关系来定义它：
$H = -\ln pdf({S_a^k} | X(1), \ldots, X(n))$

利用贝叶斯定理：
$pdf({S_a^k} | X(1), \ldots, X(N)) = \frac{pdf({S_a^k}, X(1), \ldots, X(N))}{pdf [X(1), \ldots, X(N)]} = \frac{pdf(X(1), \ldots, X(N)|{S_a^k}) pdf({S_a^k})}