7、图灵对计算的分析：从人类计算到图灵机模型

图灵对计算的分析：从人类计算到图灵机模型

1. 引言

在 20 世纪 30 年代，有效可计算性的概念成为数学基础研究的重要课题。当时，数学家们开始系统地研究数学的运作方式和本质，这源于 19 世纪末发现的一些深层次且令人困扰的悖论，如罗素悖论，它动摇了弗雷格试图将数学建立在逻辑基础上的尝试。在这一背景下，出现了三种不同的形式化方法来精确描述有效可计算性的直观概念，分别是丘奇（1936）的λ - 可定义性、克莱尼（1936）的一般递归性和图灵（1936）的图灵可计算性。

图灵的方法与丘奇和克莱尼不同，他没有直接问“什么是可计算函数？”或“什么是可计算数？”，而是关注计算一个数或函数需要做什么。他的问题“计算一个数时可能进行的过程有哪些？”引导他对人类使用纸和笔进行计算的过程进行分析，并将有效可计算性与反映人类计算能力限制的机器能力联系起来。

2. 术语澄清

“计算机”这个术语存在歧义。在当代，它主要指机器，但在 1936 年图灵的语境中，它指的是从事计算的人类。为避免混淆，我们使用“计算者”来指代人类进行计算的人，使用“计算机”来指代机器。

3. 图灵分析的范围

图灵在其著名论文《论可计算数及其在判定问题上的应用》中对计算进行了分析。这篇论文不仅确立了图灵作为重要理论家的声誉，还阐述了机械计算的范围和限制。

3.1 可数无穷的图灵机

论文中引入了图灵机的概念，并通过简单示例迅速过渡到“通用”机器的设计。通用机器可以模拟任何可数无穷个图灵机的功能。可数无穷的图灵机意味着虽然图灵机的数量没有限制，但每个图灵机都可以在一个有序列表中找到确定的位置。这是因为图灵机的描述数是整数，