15、时间序列中非线性动力学的检测与模拟

时间序列中非线性动力学的检测与模拟

1. 时间序列非线性动力学检测方法概述

在时间序列分析中，识别非线性甚至混沌现象并非易事。因为混沌和随机过程可能具有相似的宽带频谱。目前，主要有两种方法用于区分混沌和随机噪声：维度估计法和非线性预测法。

1.1 维度估计法

维度估计法的原理基于随机过程源于无限维吸引子，而有限维吸引子则表明存在混沌。以 Grassberger - Procaccia 算法为例，该算法相对计算简单，但存在一些偏差。比如，具有功率谱 1/f 的随机过程可能会使维度算法误判为存在混沌。此外，该算法对参数（如数据点数、嵌入维度、重构延迟和初始条件）的变化很敏感，并且对噪声也非常敏感，因此其实用意义存疑。

另一种相关方法是通过最大 Lyapunov 指数来判断混沌。正的 Lyapunov 指数是混沌动力学的一个指标，该算法利用傅里叶变换（FT）估计滞后和平均周期，并使用时间延迟嵌入方法重构吸引子，找到最近邻并测量邻域的平均分离。这种方法对噪声和数据长度的变化具有一定的鲁棒性，但可能会误分类高维混沌，某些复合信号也可能导致误判。

1.2 非线性预测法

非线性预测法基于时间序列展现动态非线性的一个基本特性：与随机时间序列不同，具有动态非线性的时间序列在短期内是可预测的。通过分析预测误差，可以区分随机和非线性确定性行为。

Sugihara 和 May 利用这种方法区分确定性混沌和添加到周期信号中的随机噪声。他们发现，对于混沌信号，时间序列的预测值和实际值之间的相关系数会随着预测时间的增加而减小；而对于随机数据，相关系数不会随预测时间的变化而改变。然而，这种混沌识别技术在面对有色噪声时会失效。