28、基于权重上限的资源分配/匹配问题的复杂性

基于权重上限的资源分配/匹配问题的复杂性

在实际应用中，将一个集合中的元素分配到另一个集合中的元素是常见的需求，并且需要满足特定的目标。在某些情况下，两个不同集合之间的匹配会根据其中一个集合或两个集合的偏好来进行。同时，很多时候存在一个分配上限，超过这个上限就不能再进行分配。通常，这种上限是基于数量而非权重（对于同质的任务/参与者，数量和权重是等同的）。本文将探讨任务和参与者不一定同质，且分配上限基于权重而非数量的资源分配问题。

1. 引言

任务分配可以看作是一般双边匹配问题的一种变体。该问题的基本思想是有两组参与者 - 任务实体需要进行匹配。Gale和Shapley将典型的匹配问题用稳定婚姻问题来表述。在稳定婚姻问题中，一个男人（男孩）与一个女人（女孩）匹配，使得双方在可用选择和偏好列表的基础上获得最大的满意度。这种匹配不仅仅是寻找可接受的配对，而是一种稳定的匹配，即任何替代选择都会导致双方的不满。这个问题的表述可以扩展到解决现实生活中的许多分配问题。

任务分配问题的解决方案主要分为两类：集中式和分布式方法。集中式方法依赖于一个信息充分的中央决策点来进行任务分配，广泛应用于工业工程中，如工厂中并行机器的调度。而分布式方法中，决策由多个决策者根据本地知识和交互来做出，决策者通常是系统成员。在这两种方法中，都必须遵守许多约束条件。

本文研究了基于权重而非数量上限的资源分配/匹配问题的复杂性。通过改进原始的Gale和Shapley算法，来解决动态资源分配问题。结果表明，该问题的总体复杂性是二次的，最佳情况下是线性的。

2. 动态资源分配（DRA）问题

大多数关于资源分配的工作都考虑同质的任务和参与者，参与者和任务的匹配直