2、离散函数与相关表达式详解

离散函数与相关表达式详解

1. 离散函数的基本概念

离散函数是具有特定输入和输出的映射关系。一个具有 $n$ 个输入和 $k$ 个输出的离散函数定义为：$f = \times_{i=1}^{n}S_{i} \to L^{k}$，其中 $x_{i} \in S_{i}$，$f_{i} \in L$。这里的 $S_{i}$ 和 $L$ 是有限离散非空集合，分别代表变量和输出的取值范围。通常为了实际应用方便，会假设所有输出取值于同一个集合，对于多输出函数，其值域是集合 $L$ 的幂集。

如果 $S_{1} = S_{2} = \cdots = S_{n} = L = {0, 1, \cdots, p - 1}$，那么该函数就是 $p$ 值函数。当 $p$ 分别取 2、3、4 时，函数分别被称为二元（布尔）、三元和四元函数。具体来说，单输出的二元、三元和四元函数可以定义为以下映射：
- 二元函数：$f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}$
- 三元函数：$f : {0, 1, 2}^{n} \to {0, 1, 2}$
- 四元函数：$f : {0, 1, 2, 3}^{n} \to {0, 1, 2, 3}$

为了得到易于数学处理的模型，可将这些函数看作是定义在有限群 $C_{2}^{n}$、$C_{3}^{n}$ 和 $C_{4}^{n}$ 上的函数。其中 $C_{2} = ({0, 1}, \oplus)$、$C_{3} = ({0, 1, 2}, \oplus)$ 和 $C_{4} = ({0, 1, 2, 3}, \oplus)$ 分别是阶为 2、3 和 4 的循环群，这里的群运算 $\oplus$ 分别对应模 2、模 3 和模 4 的