15、几何对象检测问题及应用解析

几何对象检测问题及应用解析

1. 椭圆的表示与转换

在几何对象检测中，椭圆是一个重要的研究对象。椭圆可以有不同的表示方式，一种是参数形式 (E(C, \xi, \eta, \vartheta))，另一种是 (M) - 圆形式 (E(C, r, \Sigma))。

• 参数形式椭圆 ：以 (C = (p, q)) 为中心，半轴长为 (\xi) 和 (\eta)，倾斜角度为 (\vartheta) 的椭圆，其参数方程为：
  [E(C, \xi, \eta, \vartheta)=\left{(\xi(\tau), y(\tau))=(p, q)+(\xi \cos \tau, \eta \sin \tau)Q(-\vartheta):\tau \in[0, \pi]\right}]
  其中 (Q(\vartheta)=\begin{bmatrix}\cos \vartheta & -\sin \vartheta \ \sin \vartheta & \cos \vartheta\end{bmatrix}) 是相应的旋转矩阵。

• (M) - 圆形式椭圆 ：(M) - 圆 (E(C, r, \Sigma)) 由方程 (d_M(x, C; \Sigma) = r^2) 定义，其中 (d_M) 是归一化的马氏距离函数，(\Sigma=\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 \ \alpha_2 & \alpha_3\end{bmatrix}) 是协方差矩阵，且 (r^2 = \sqrt{\det \Si