14、多几何对象检测问题及应用

多几何对象检测问题及应用

在许多实际应用场景中，我们常常需要从数据集中识别和重建多个几何对象，如圆和椭圆。本文将详细探讨多几何对象检测问题，重点介绍多圆检测和多椭圆检测的相关内容。

1. 几何对象指数（GO）

对于集合 $\rho = {\rho_1, \ldots, \rho_{\kappa}}$（$\kappa \geq 2$），其中 $\rho_j := \rho_j(\pi^{\star} j)$ 是簇 $\pi^{\star}_j$ 的局部密度，方差 $Var(\rho)$ 的计算公式为：
[
Var(\rho) = \frac{1}{\kappa - 1} \sum {j = 1}^{\kappa} (\rho_j - \overline{\rho})^2
]
其中，$\overline{\rho} = \frac{1}{\kappa} \sum_{j = 1}^{\kappa} \rho_j$。

几何对象指数（GO）的定义如下：
[
GO(\kappa) :=
\begin{cases}
\sqrt{Var(\rho_1, \ldots, \rho_{\kappa})}, & \text{for } \kappa \geq 2 \
\rho_1, & \text{for } \kappa = 1
\end{cases}
]
当 $\kappa = 1$ 时，只有一个 $\gamma$-簇中心 $\gamma^{\star}_1$，此时 $GO$ 指数的值等于 $\rho_1 = \frac{|A|}{|\gam