6、数据科学中的关键概念：自相关与对数的应用

数据科学中的关键概念：自相关与对数的应用

1. 自相关分析

自相关是数据科学中用于识别序列中循环模式的重要方法。在一个序列 (S) 里，为了识别循环模式，我们可以将 (S_i) 的值与 (S_{i + p}) 的值进行关联，其中 (1 \leq i \leq n - p)。若对于特定的周期长度 (p)，这些值是同步的，那么该序列与其自身的相关性相对于其他可能的滞后值会异常高。将一个序列与其自身进行比较的过程被称作自相关，而对于所有 (1 \leq k \leq n - 1) 的相关性系列则被称为自相关函数。

例如，在图 2.11 展示的每日销售时间序列及其对应的自相关函数中，7 天（以及 7 的倍数天）的位移处出现峰值，这表明销售存在每周的周期性，周末的销售量更多。

自相关在预测未来事件方面意义重大，因为它意味着我们能够把先前的观测结果作为模型的特征。例如，“明天的天气与今天相似”这一经验法则就基于自相关，其滞后 (p = 1) 天。通常情况下，我们会认为这样的模型比基于六个月前天气数据（滞后 (p = 180) 天）的预测更为准确。

一般而言，许多数量的自相关函数在非常短的滞后时往往达到最高值。这就是长期预测不如短期预测准确的原因，因为自相关性通常要弱得多。不过，周期性循环有时也会持续更长时间。实际上，由于季节性影响，基于滞后 (p = 365) 天的天气预报会比 (p = 180) 天的预报好得多。

计算完整的自相关函数需要计算时间序列点上的 (n - 1) 个不同相关性，对于较大的 (n)，这可能成本高昂。幸运的是，有一种基于快速傅里叶变换（FFT）的高效算法，它使得即使对于非常长的序列也能构建自相关函数。

下面是