29、一维流动控制方程与数值方法解析

一维流动控制方程与数值方法解析

1. 一维流动控制方程

一维非恒定流的连续性方程和动量方程是描述明渠水流运动的基础。连续性方程体现了质量守恒原理，而动量方程则基于牛顿第二定律。

对于无侧向入流或出流的棱柱形渠道，连续性方程和动量方程分别为：
- 连续性方程：$\frac{\partial y}{\partial t} + D_h\frac{\partial V}{\partial x} + V\frac{\partial y}{\partial x} = 0$
- 动量方程：$\frac{\partial V}{\partial t} + V\frac{\partial V}{\partial x} + g\frac{\partial y}{\partial x} = g(S_o - S_f)$

其中，$V$ 为流速，$y$ 为水深，$D_h = \frac{A}{B}$ 为水力深度，$A$ 为过水断面面积，$B$ 为水面宽度，$S_o$ 为渠道底坡，$S_f$ 为能量坡度线坡度，$x$ 为沿渠道长度的距离，$t$ 为时间，$g$ 为重力加速度。

通过一系列数学变换，可得到积分形式的连续性方程和动量方程。例如，对相关方程进行积分和代换操作，可得到积分形式的动量方程：
$\int_{x_1}^{x_2} (Q_{t_2} - Q_{t_1}) dx + \int_{t_1}^{t_2} Q_2V_2 dt - \int_{t_1}^{t_2} Q_1V_1 dt - \int_{t_1}^{t_2} \int_{x_1}^{x_2} V_xq_l dxdt = g\int_{t_1}^{t_2} (A_1\overline{y} <