6、临界流相关知识解析

临界流相关知识解析

1. 单位流量

在特定比能 (E) 下，为确定单位流量 (q) 随水深 (y) 的变化，将公式改写为 (q^2 = 2gEy^2 - 2gy^3)。从该式可知，当 (y = 0) 或 (y = E) 时，(q = 0)，这就得到了给定 (E) 时 (q - y) 曲线上的两个点。
为研究曲线形状，需确定其极值点及对应 (q) 值。当 (q) 取极值时，(\frac{dq}{dy} = 0)。对 (q^2 = 2gEy^2 - 2gy^3) 关于 (y) 求导并化简，可得 (q\frac{dq}{dy} = gy(2E - 3y))。令导数为零并化简，得到 (y(2E - 3y) = 0)，其两根为 (y = 0) 和 (y = \frac{2}{3}E)。由于 (y = 0) 时 (q = 0)，进一步研究该根无更多信息，而第二根对应的深度与临界深度相同。
为验证该深度下流量是最大还是最小，需确定 (\frac{d^2q}{dy^2}) 的符号。对 (q\frac{dq}{dy} = gy(2E - 3y)) 关于 (y) 求导，得到 (q\frac{d^2q}{dy^2} + (\frac{dq}{dy})^2 = 2gE - 6gy)。将 (\frac{dq}{dy} = 0) 和 (y = \frac{2}{3}E) 代入，可得 (\frac{d^2q}{dy^2} = -\frac{2gE}{q})，该二阶导数恒为负。所以，对于给定 (E)，单位流量 (q) 在临界深度 (y_c) 处取最大值。将 (y = \frac{2}{3}E) 代入 (q^2 = 2gEy^2 - 2gy^3) 并化简，可得最大流量表达式 (q_{max}^2 = \frac{8}{27}gE^3