2017.10.27 数学期望（手把手教你推期望） 解题报告

【题目描述】

有$n$个数字，每一个数字可能为$1~m$中的任意一个值，现在进行$(n-k+1)$次选择，第一次选择$1~k$个数字，第二次选$2~k+1$个数字……现在给出每一个数值$（1--m）$对应的一个函数$w（x）$，对于每一次选择，它的代价为k个数内最大的数$mx$的$w（mx）$，求在k次选择后，代价和的期望值是多少

【输入格式】

第一行，三个整数n, m, k
第二行，m个整数表示wt�� , … , ������

【输出格式】

输出值期望对1000000007取模的值。

【样例输入】

2 2 2
1 2

【样例输出】

750000007

【解题报告】

NOIP模拟的一道题，感觉比较有意思。
首先我们来处理一个简单的问题

问题1：有n个数，每个数的范围在$1—m$中随机取，问这$n$个数最大值的期望？
解法：最大值的期望？听起来很懵逼。。
我们把这个期望值记为$X(n)$，考虑枚举最大值分别为k的情况的概率$P(k)$，不难得出$P(k)=((k)^n-(k-1)^n)/(m)^n$。
现在我们知道当每一个k值作为最大值的概率了，现在让我们回到期望的定义：离散型随机变量X的取值为 $x1,x2,x3,x4...$，$p1,p2,p3,p4...$为$X$对应取值的概率，可理解为数据$f(xi)$出现的频率 ，则$E(x)=∑ xi*pi$
所以说我们很轻松的得出了$X(n)=∑ (k=1,k<=m) k*P(k)$

问题2：有n个数，每个数的范围在$1—m$中随机取，每个数值有一个代价$w(i)$，问这$n$个数最大值$mx$的$w(mx)$期望？
解法：现在的问题比问题1多了一个$w(i)$，但是如果理解了期望的定义，看懂了问题1的思路。
所以我们很轻松地得出了$X(n)=∑ (k=1,k<=m) w(k)*P(k)$

问题3：原问题。
这k个选择是互不影响的，所以说答案为：
$X(n)=∑ (k=1,k<=m) w(k)*P(k)$
$ans=(n-k+1)*X(k)$

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define mod 1000000007
#define N 510

int n,m,k,M=1;
int w[N],p[N];
int ans=0;

int mpow(int a,int b)
{
    int ans=1,base=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1!=0) ans=1LL*ans*base%mod;
        base=1LL*base*base%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&w[i]);
    for(int i=1;i<=m;++i) p[i]=mpow(i,k);
    int inv=mpow(p[m],mod-2);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int tmp=1LL*w[i]*(p[i]-p[i-1]+mod)%mod*inv%mod;
        ans=(ans+tmp)%mod;
    }
    printf("%d\n",1LL*ans*(n-k+1)%mod);
    return 0;
}