掷骰子题解（期望DP）

题目描述

一行有$N$个格子，编号为$1,2,\dots ,N$，你站在格子$1$处。前$N-1$个格子中，每个格子中都有一枚特殊的骰子。第$i$个格子上的骰子，标有$0,1,\dots ,A_i$这些数。你每到一个格子，就会掷一次骰子，如果骰子掷出为$y$，你当前在$i$号格子，那么你可以跳到第$i+y$号格子。骰子上的每一个数都是等概率出现的。问你走到第$N$个格子时，期望要丢多少次骰子？答案对$998244353$取模。对期望的取模的操作为：期望是一个分数，你先化简分数，分子乘上分母关于$998244353$的逆元，得到一个整数，输出该整数。

输入格式

第一行输出$n$。第二行有$n-1$个数，为$A_1,A_2,\dots ,A_{n-1}$

输出格式

输出答案

输入样例1

3
1 1

输出样例1

4

输出样例2

5
3 1 2 1

输出样例2

332748122

数据范围

$2\le N\le 2\ast 10^5,1\le A_i\le N-i(1\le i\le N-1)$

题解

这是一道期望DP，设$f_i$表示走到第$i$个格子时期望要走多少次才能到第$N$个格子，$f_N=0$，可以列出转移式：

$f_i=\frac{\sum _{j=i}^{i+A_i}{f}_j}{A_i+1}+1$

在第$i$个格子，等概率到第$i$到$i+A_i$个格子。但是，观察可得，$f_i$的转移式是包括$f_i$本身的，所以我们需要做一些调整。两边同时减去$\frac{f_i}{A_i+1}$得

$\frac{A_i}{A_i+1}{f}_i=\frac{\sum _{j=i+1}^{i+A_i}{f}_j}{A_i+1}+1$

两边同时乘$\frac{A_i+1}{A_i}$得

$f_i=\frac{\sum _{j=i+1}^{i+A_i}{f}_j}{A_i}+\frac{A_i+1}{A_i}$

用前缀和维护$f$数组，即可线性求解。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long mod=998244353,a[200005],f[200005],sum[200005];
long long mi(long long t,long long v){
    if(v==0) return 1;
    long long re=mi(t,v/2);
    re=re*re%mod;
    if(v&1) re=re*t%mod;
    return re;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
    for(int i=n-1;i>=1;i--){
        f[i]=(sum[i+1]-sum[i+a[i]+1]+mod)%mod;
        f[i]=(f[i]+a[i]+1)%mod;
        f[i]=f[i]*mi(a[i],mod-2)%mod;
        sum[i]=(sum[i+1]+f[i])%mod;
    }
    printf("%lld",f[1]);
    return 0;
}