BZOJ 1913 计算几何+排列组合 解题报告

1913: [Apio2010]signaling 信号覆盖

Input

输入第一行包含一个正整数 n, 表示房子的总数。接下来有 n 行，分别表示 每一个房子的位置。对于 i = 1, 2, .., n, 第i 个房子的坐标用一对整数 xi和yi来表 示，中间用空格隔开。

Output

输出文件包含一个实数，表示平均有多少个房子被信号所覆盖，需保证输出 结果与精确值的绝对误差不超过0.01。

Sample Input

4
0 2
4 4
0 0
2 0

Sample Output

3.500

HINT

3.5, 3.50, 3.500, … 中的任何一个输出均为正确。此外，3.49, 3.51,
3.499999，…等也都是可被接受的输出。

【数据范围】

100%的数据保证，对于 i = 1, 2, .., n, 第 i 个房子的坐标(xi, yi)为整数且
–1,000,000 ≤ xi, yi ≤ 1,000,000. 任何三个房子不在同一条直线上，任何四个房子不
在同一个圆上；
40%的数据，n ≤ 100；
70%的数据，n ≤ 500；
100%的数据，3 ≤ n ≤ 1,500。

【解题报告】
三点确定一圆，考虑再加入一个点，这个四边形一共会形成四种圆，每种圆肯定会包含构成这个圆的三个点。
如果这四个点构成的是凹四边形：
四种圆中除了在圆上的三点之外，只有一种圆会包含剩余一个点，所以一个凹四边形对答案贡献为1。
构成的是凸多边形：
四种圆中有两种圆会包含剩余的一个点（被包含的点分别是对角和大于180°的两个点），因此一个凸四边形对答案的贡献为2。
利用排列组合的思想。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define PI acos(-1)
#define N 100010

int n,top=0;
struct Point
{
    double x,y;
    friend Point operator-(Point a,Point b)
    {return (Point){a.x-b.x,a.y-b.y};}
}points[N],tmp[N];
double ang[N];

double cross(Point a,Point b)
{
    return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
long long C(long long n,long long m)
{
    if(m==1) return n;
    if(m==2) return n*(n-1)/2;
    if(m==3) return n*(n-1)*(n-2)/6;
    return n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24;
}
long long ans=0; //ans=凹多边形个数
void calc(int x) //以点x为原点，找没有覆盖点x的三角形个数
{
    top=0; 
    for(int i=1;i<=n;++i)
    if(i!=x)
        ang[++top]=atan2((points[i]-points[x]).y,(points[i]-points[x]).x);
    sort(ang+1,ang+top+1);
    long long tot=0; //tot=没有盖住点x的三角形个数
    int t=top;
    for(int i=1;i<=t;++i)
        ang[++top]=ang[i]+2*PI; //让负极角复制一遍变成正的
    int p=1; //x->i和x->p所夹的夹角小于等于2PI
    for(int i=1;i<=t;++i)
    {
        p=max(p,i+1);
        while(p<=top&&ang[p]<ang[i]+PI) p++;
        if(p-i-1>=2) tot+=C(p-i-1,2);
    }
    ans+=C(n-1,3)-tot;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    if(n<=3) {printf("0\n"); return 0;}
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lf%lf",&points[i].x,&points[i].y);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        calc(i);
    long long ao=ans,tu=C(n,4)-ao; //ao=凹多边形个数，tu=凸多边形个数
    printf("%lf\n",(double)(ao+2*tu)/C(n,3)+3); //!!!!!
    return 0;
}

让我看到你们的双手