38、电子电路定理与补偿衰减器详解

电子电路定理与补偿衰减器详解

1. 补偿衰减器

在电子电路中，有时需要降低信号波形的幅度，简单的电阻衰减器就可以实现这一功能。但在实际应用中，即使考虑并联电容，也需要确保信号不失真。下面我们就来详细探讨补偿衰减器的相关知识。

1.1 未补偿衰减器

未补偿衰减器通常由简单的电阻组合构成。在图B.1(a)中，存在杂散电容是不可避免的，因为电阻衰减器的输出端多数情况下会连接放大级的输入电容。

利用戴维宁定理，可以将图B.1(a)的电路等效为图B.1(b)，其中(R)是(R_1)和(R_2)的并联组合，(a)是衰减因子。

为了避免输入信号负载过重，可以增大衰减器的输入阻抗，即让(R_1)和(R_2)足够大。但这样做可能会导致上升时间过长，在实际应用中往往是不可接受的。

上升时间(t_r)定义为电压从最终值的10%上升到90%所需的时间，它反映了电路对电压突变的响应速度。在RC网络中，输出电压(v_{out})达到最终值的10%所需时间为(0.1RC)，达到90%所需时间为(2.3RC)，所以上升时间(t_r)为：
[t_r = 2.2\tau = 2.2RC = \frac{2.2}{2\pi f_c} = \frac{0.35}{f_c}]
其中(f_c)是3 - dB频率，(f_c = \frac{1}{2\pi RC})。

例如，当(R_1 = R_2 = 1M\Omega)，放大级的输入电容(C_2 = 15pF)时，图B.1(b)电路的上升时间为：
[t_r = 2.2\tau = 2.2RC = 2.2\times0.5\times10^6\times15\times10^{-12} = 16.5\mu s]
这个上升时间对于实际应用来说太大，是不可接受的。

1.2 补偿衰减器

为了解决未补偿衰减器的问题，可以将未补偿衰减器转变为补偿衰减器。具体做法是在电阻(R_1)上并联一个电容(C_1)，如图B.2(a)所示。

图B.2(a)的电路可以等效为图B.2(b)的电桥形式。当满足(R_1C_1 = R_2C_2)时，电桥平衡，连接点(x)和点(y)的支路中没有电流。在计算输出电压(v_{out})时，可以忽略这条支路，此时输出电压等于(av_{in})，且与频率无关。

由于(R_1C_1 = R_2C_2)这个关系必须精确满足，所以通常将电容(C_1)设为可变电容，通过方波测试进行最终的精确补偿调整。

当输入为幅度为(V)的阶跃电压时，如果补偿不精确，输出信号会出现不同的情况。图B.3(a)显示电路过补偿，图B.3(b)显示电路欠补偿。

2. 替代、简化和米勒定理

在简化包含受控源的电路时，替代定理、简化定理和米勒定理非常有用。下面我们分别介绍这些定理。

2.1 替代定理

替代定理指出，如果网络中节点(x)和(y)之间的某条支路电压为(v_{xy})，电流为(i_{xy})，那么在网络中可以用另一条支路替代该支路，只要替代支路的电压也为(v_{xy})，电流也为(i_{xy})。

这个定理最常见的应用是用电压源或电流源替代阻抗，或者反之。下面通过简单的电路和替代支路来说明替代定理，如图C.1所示。

对于图C.1(a)的简单电阻电路，通过串并联电阻组合可以得到(v_{xy} = 6V)，(i_{xy} = 3A)。根据替代定理，图C.1(a)中跨接在端子(x)和(y)之间的(2\Omega)电阻可以用一个(6V)的电压源替代，如图C.1(b)所示，此时网络的其余部分不受影响，该支路的电流仍为(3A)。

此外，还可以有其他替代方式。例如，替代支路可以由一个(1\Omega)的电阻和一个(3V)的电压源组成，如图C.1(c)所示；或者由一个(3\Omega)的电阻和一个(3V)的反极性电压源组成，如图C.1(d)所示。

如果图C.1(a)中的电压源是交流源，那么跨接在端子(x)和(y)之间的(2\Omega)电阻可以用一个具有电容电抗(X_C)和电压源(V’)的支路替代，如图C.1(e)所示。对于这个支路，有(V_{xy} = jX_CI_{xy} - V’ + V’)。

当(X_C = \frac{8}{3}\Omega)时，要满足替代定理，(V_{xy} = 6V)，(I_{xy} = 3A)，代入上式可得：
[6 - j\frac{8}{3}\times3 + V’ = 0]
解得(V’ = 6 + j8 = 10\angle53.1^{\circ}V)，如图C.1(e)所示。

替代定理的证明基于网络的支路方程。一个包含(B)条支路的网络，其运行由(2B)个联立方程定义。例如，对于图C.2所示的电桥网络，它有六条支路，根据欧姆定律可得：
[
\begin{cases}
V_{ab} = Z_{ab}I_{ab} + V_S \
V_{ac} = Z_{ac}I_{ac} \
V_{ad} = Z_{ad}I_{ad} \
V_{cb} = Z_{cb}I_{cb} \
V_{cd} = Z_{cd}I_{cd} \
V_{db} = Z_{db}I_{db}
\end{cases}
]
假设电源电压(V_S)和六个阻抗是已知常数，那么这里有6个方程和12个未知数，还需要6个方程才能求解各支路的所有电压和电流。可以通过应用基尔霍夫电流定律（KCL）得到3个额外方程，再通过基尔霍夫电压定律（KVL）得到最后3个方程：
[
\begin{cases}
I_{ab} + I_{ac} + I_{ad} = 0 \
I_{ca} + I_{cd} + I_{cb} = 0 \
I_{da} + I_{dc} + I_{db} = 0 \
V_{ab} + V_{ac} + V_{cb} = 0 \
V_{ac} + V_{cd} + V_{da} = 0 \
V_{cb} + V_{bd} + V_{dc} = 0
\end{cases}
]
通过求解这12个方程，就可以得到12个未知数的值。

从上述讨论可以得出，对于一个包含(B)条支路的网络，可以写出与未知数数量相同的方程，即未知数数量为(2B)。假设要替代的支路包含一个阻抗和一个电源，该支路的方程为(V_{ab} = Z_{ab}I_{ab} + V_S)，即该支路的电压为(V_{ab})，电流为(I_{ab})。网络中其他支路的电压为(V_{bc})、(V_{cd})等，电流为(I_{bc})、(I_{cd})等，所有这些电压和电流同时满足网络的(2B)个方程，包括上述支路方程。

现在假设一个替代支路，它具有不同的阻抗(Z’ {ab})和不同的电压源(V’_S)，但(Z’ {ab})和(V’ S)的关系使得满足原支路方程的(V {ab})和(I_{ab})值也能满足新的支路方程(V_{ab} = Z’ {ab}I {ab} + V’_S)。

当进行替代后，改变后的网络运行仍由(2B)个方程定义，其中((2B - 1))个方程保持不变，只是原支路方程被新的支路方程替代。由于新的支路方程被与原方程相同的电压和电流值满足，所以整个联立方程组将被与替代前相同的电压和电流满足。因此，网络所有支路的电压和电流与替代前相同，替代定理得证。

替代定理在简化包含受控源的电路时特别有用。例如，对于图C.3(a)所示的电流控制电压源和图C.3(b)所示的电压控制电流源，都可以应用替代定理。

再看一个放大器的等效电路，如图C.4(a)所示。在图C.4(a)中，如果将受控源(\mu v_{in})用一个电阻(\mu R_2)替代，电流和电压不会改变，简化后的等效电路如图C.4(b)所示。

替代定理的一个特殊情况是电源吸收定理，它有两种对偶形式，即电压源吸收定理和电流源吸收定理。

电压源吸收定理如图C.5所示。该定理指出，如果网络中某条支路的电流为(i)，那么该支路中的电压源(V_S)可以用一个阻抗(Z)替代。

示例C.1 ：使用电压源吸收定理简化图C.6所示的支路。
解决方案 ：应用电压源吸收定理，得到简化后的支路如图C.7(c)所示。

电流源吸收定理如图C.8所示。该定理指出，如果网络中某条支路的电压为(v)，那么该支路中的电流源(I_S)可以用一个导纳(Y)替代。

示例C.2 ：使用电流源吸收定理简化图C.9所示的并联组合。
解决方案 ：应用电流源吸收定理，得到简化后的支路如图C.10(c)所示。

2.2 简化定理

简化定理本质上是替代定理的扩展，适用于如图C.11所示的网络配置。

在图C.11(a)中，网络(N_1)是任何具有端电压(v_1)的线性二端网络，(N_2)是任何其他线性二端网络。电压控制电压源(Av_1)的常数(A)可以是任意实数，正负均可。两个网络和电压源串联连接，使得(v_1)和(Av_1)在它们形成的回路中是相加的。

简化定理指出，如果满足以下条件，(N_1)和(N_2)中的所有电流保持不变：
1. 将网络(N_1)中的每个电阻、电感、电容倒数和电压源都乘以((1 + A))；
2. 或者将网络(N_2)中的每个电阻、电感、电容倒数和电压源都除以((1 + A))。

简化定理的证明基于回路方程的形式。显然，如果所有电阻、电感、电容倒数和电压源都乘以同一个任意因子，那么回路方程组中的每一项都乘以同一个因子，所有回路电流保持不变。因此，如果按照定理的第一部分，将(N_1)中的所有参数和电压源都乘以((1 + A))，并将(Av_1)用短路替代，那么施加到(N_2)的电压仍然是((1 + A)v_1)，(N_1)和(N_2)中的所有电流保持不变。(N_1)中的所有电压都乘以因子((1 + A))，但(N_2)中的电压不变。在简化过程中，(N_1)和(N_2)中的任何电流源保持不变。

通过同样的推理过程，在完成上述变换后，将复合网络(N_1 - N_2)中的所有电阻、电感、电容倒数和电压源都除以因子((1 + A))，不会改变(N_1 - N_2)中的任何电流，从而证明了定理的第二部分。

当网络中的所有电流和电压都是正弦且频率相同时，受控源的常数可以表示为复数，此时简化定理仍然成立。

简化定理的对偶形式适用于图C.11(b)所示的网络配置。它指出，如果满足以下条件，图C.11(b)网络中的所有电压保持不变：
1. 将网络(N_1)中的所有电导、电容、电感倒数和电流源都乘以((1 + A))；
2. 或者将网络(N_2)中的所有电导、电容、电感倒数和电流源都除以((1 + A))。

对偶形式的证明基于节点方程，与上述证明是对偶的。在应用简化定理时，必须正确识别两个网络(N_1)和(N_2)，有两个必要条件：
a. 被识别为网络(N_1)的端电压（或电流）必须是要消除的源的控制量；
b. 除了网络和受控源串联（或并联）连接的两个端子外，任何电流都不能通过其他端子进入或离开任一网络。需要注意的是，连接网络不同部分的连接不承载电流，因此在考虑条件b时可以忽略。

简化定理的一个有用应用是级联放大器，如图C.12所示。图C.12显示了一个级联放大器的部分电路，其中共基极双极晶体管位于共发射极双极晶体管之上。当然，级联放大器也可以使用MOSFET或CMOS器件。

为了说明简化定理的应用，我们考虑图C.13所示的某个级联放大器的增量模型。从图C.13(a)的电路中可以观察到(v_{g1} = v_{in} + R_2i)，因此可以应用替代定理得到等效电路，如图C.13(b)所示。该电路已被分离为两个网络(N_1)和(N_2)，与受控源(\mu v_3)串联连接，为应用简化定理做准备。该电路满足简化定理的所有条件，因此应用电压源形式定理的第一部分，得到简化后的网络，如图C.13(c)所示。

发射极跟随器（如图C.14(a)所示）也可以说明简化定理在电路分析中的应用。我们知道，发射极跟随器的主要特性是提供相对较低的输出电阻、能够提供相对较高的输入阻抗，并且能够提供电流和功率放大，但不提供电压放大。图C.14(b)显示了该电路在耦合电容作为短路且晶体管性能与频率无关的频率范围内有效的增量模型。使用晶体管的混合表示，其中(\mu = 0)。电阻(R_1)表示电阻(R_A)和(R_B)的并联组合，电路被分离为两个网络，为应用简化定理做准备。

应用电流源形式定理的第一部分，得到简化后的电路，如图C.14(c)所示。为了简单起见，在图C.14(c)中，因子((1 + \beta))用(k)表示，实际上(k)本质上等于(\beta)。将电阻(R_S)、(R_1)和(r_n)除以(k)相当于将相应的电导乘以这个因子。因此，应用简化定理得到图C.14(c)的简化电路。

电路的电流放大可以通过以下事实解释：在简化后的电路中，输入信号电流乘以因子(k)。从图C.14(c)可以清楚地看出，发射极跟随器的正向电压传输比小于1，并且对于较大的(k)值，发射极跟随器的输出电阻非常小。

如果应用定理的第二部分而不是第一部分，则得到图C.14(d)的电路。该电路便于研究输入端子的关系，因为输入电压和电流未被修改。对于较大的(k)值，发射极跟随器的输出电阻非常大。

综上所述，补偿衰减器和替代、简化定理在电子电路的设计和分析中都有着重要的应用。通过合理运用这些知识，可以更好地优化电路性能，提高电路的稳定性和可靠性。在实际应用中，需要根据具体的电路需求和条件，灵活选择合适的方法和定理进行分析和设计。

3. 定理应用总结与对比

为了更清晰地理解替代定理和简化定理在不同场景下的应用，下面通过表格形式对它们进行总结和对比。

定理名称	应用场景	操作步骤	效果
替代定理	包含受控源的电路简化、电源吸收	1. 确定要替代的支路电压 (V_{xy}) 和电流 (I_{xy})； 2. 找到满足相同 (V_{xy}) 和 (I_{xy}) 的替代支路； 3. 用替代支路替换原支路	简化电路结构，保持电路中各支路电压和电流不变
简化定理	特定网络配置的电路简化，如级联放大器、发射极跟随器	电压源形式： 1. 将网络 (N_1) 中的电阻、电感、电容倒数和电压源乘以 ((1 + A))； 2. 或把网络 (N_2) 中的相应参数除以 ((1 + A))； 电流源形式： 1. 将网络 (N_1) 中的电导、电容、电感倒数和电流源乘以 ((1 + A))； 2. 或把网络 (N_2) 中的相应参数除以 ((1 + A))	简化电路，改变部分参数值，保持电流或电压不变

通过这个表格，我们可以直观地看到两个定理的区别和联系，在实际电路分析中，能够根据具体情况选择合适的定理进行应用。

4. 电路分析流程示例

下面以一个综合电路为例，展示如何运用上述定理进行电路分析。假设我们有一个包含受控源和多个电阻、电容的复杂电路，分析流程如下：

graph TD;
    A[确定电路类型和目标] --> B[检查是否有可应用替代定理的支路];
    B -->|有| C[应用替代定理简化电路];
    B -->|无| D[检查是否符合简化定理的网络配置];
    C --> D;
    D -->|符合| E[应用简化定理进一步简化];
    D -->|不符合| F[采用其他常规方法分析];
    E --> G[分析简化后电路的电压、电流等参数];
    F --> G;
    G --> H[验证结果的合理性];

具体步骤如下：
1. 确定电路类型和目标 ：明确电路是放大电路、滤波电路还是其他类型，以及我们要分析的目标，如输出电压、电流放大倍数等。
2. 检查是否有可应用替代定理的支路 ：观察电路中是否存在已知电压和电流的支路，若有，则可以考虑应用替代定理进行简化。
3. 应用替代定理简化电路 ：根据替代定理的规则，用合适的替代支路替换原支路，得到简化后的电路。
4. 检查是否符合简化定理的网络配置 ：查看简化后的电路是否符合简化定理所适用的网络结构，如是否有电压控制电压源或电流控制电流源与特定网络串联或并联的情况。
5. 应用简化定理进一步简化 ：如果符合条件，根据简化定理的规则对电路进行进一步简化。
6. 分析简化后电路的电压、电流等参数 ：使用欧姆定律、基尔霍夫定律等基本电路定律，对简化后的电路进行分析，计算所需的参数。
7. 验证结果的合理性 ：检查计算结果是否符合电路的基本特性和实际情况，如电压、电流的方向和大小是否合理等。

5. 实际应用案例拓展

除了前面提到的级联放大器和发射极跟随器，这些定理在其他电子电路中也有广泛应用。

5.1 滤波器电路

在滤波器电路中，替代定理可以用于简化复杂的阻抗网络。例如，一个带通滤波器可能包含多个电感、电容和电阻组成的谐振回路。当某个支路的电压和电流已知时，可以用一个等效的电压源或电流源替代该支路，从而简化滤波器的分析。

简化定理则可以用于调整滤波器的参数，以实现特定的频率响应。通过合理选择网络 (N_1) 和 (N_2)，并应用简化定理，可以改变滤波器的截止频率、带宽等性能指标。

5.2 电源电路

在电源电路中，电源吸收定理（替代定理的特殊情况）可以用于优化电源的输出特性。例如，在一个稳压电源中，如果某个支路的电流稳定，那么可以将该支路中的电压源用一个合适的阻抗替代，从而减少电源的纹波和噪声。

简化定理可以用于分析电源电路中的反馈网络。通过将反馈网络分离为两个网络，并应用简化定理，可以更清晰地理解反馈对电源输出电压和稳定性的影响。

6. 总结与展望

电子电路中的补偿衰减器和替代、简化定理是非常重要的工具，它们为电路的设计和分析提供了有效的方法。补偿衰减器可以解决信号衰减过程中的失真问题，确保信号的质量；替代定理和简化定理则可以大大简化包含受控源的复杂电路，提高分析效率。

在未来的电子电路发展中，随着电路的复杂度不断增加，这些定理的应用将更加广泛。同时，我们也需要不断探索和研究新的电路分析方法和定理，以适应电子技术的快速发展。例如，结合计算机辅助设计和仿真技术，可以更准确地分析和优化电路性能。此外，对于一些新型电子器件和电路结构，也需要进一步研究如何应用现有的定理进行分析和设计。

希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这些电子电路定理，在实际的电路设计和分析中发挥更大的作用。在实际操作中，要根据具体的电路情况，灵活运用这些定理，不断积累经验，提高自己的电路设计和分析能力。