算法导论第三版习题8.1

8.1-1

最小深度为$n-1$，就像插入排序最好的情况一样，对已经排序好的序列排列的情况。

8.1-2

$$\begin{align} \sum_{k=1}^nlgk\le \sum_{k=1}^nlgn=nlgn \end{align}$$
所以，$lg(n!)=O(nlgn)$.
$$\begin{align} \sum_{k=1}^nlgk&=\sum_{k=1}^{n/2}lgk+\sum_{k=n/2+1}^nlgk\\ &\ge\sum_{k=n/2+1}^nlgk\\ &\ge\sum_{k=n/2+1}^nlg(n/2)\\ &=\frac{n}{2}lg\frac{n}{2}\\ &=\frac{n}{2}lgn-\frac{n}{2}lg2 \end{align}$$
所以$lg(n!)=\Omega(nlgn)$.
故$lg(n!)=\Theta(nlgn)$.

8.1-3

对于给定的$m$种输入，假设其树高为$h$，则都有

$$m\le 2^h$$
故都有$h\ge lgm$。当$m=\frac{n!}{2}$时， $$h\ge lg\frac{n!}{2}=\Omega(nlgn)$$
当$m=\frac{n!}{n}$时， $$h\ge lg\frac{n!}{n}=lg(n-1)!=\Omega(nlgn)$$
当$m=\frac{n!}{2^n}$时， $$h\ge lg\frac{n!}{2^n}=lg(n!)-nlg2$$
所以都不能再线性时间内达到。

8.1-4

一共有$(k!)^{n/k}$种排列，和定理8.1的证明一样：

$$(k!)^{n/k}\le l \le 2^h$$
则
$$\begin{align} h&\ge lg(k!)^{n/k}\\ &=\frac{n}{k}lg(k!)\\ &\ge \frac{n}{k}\cdot \frac{k}{2}lg\frac{k}{2}\\ &=\Omega(nlgk) \end{align}$$