算法导论第三版第七章思考题

7-1

a.

（1） 初始时，$x=A[1]=13, i = 0, j = 13$;
（2） 令$j=j-1=12，A[12]\gt x$，故继续令$j=j-1=11,A[11]\lt x$；令$i=i+1=1,A[1]\ge x$。交换$A[1]和A[11]得到A_1=\{6,19,9,5,12,8,7,4,11,2,13,21\}$；
（3） 令$j=j-1=11,A[11]\lt x$；令$i=i+1=2,A[2]\gt x$。交换$A[2]$和$A[11]$得到$A_2=\{6,2,9,5,12,8,7,4,11,19,13,21\}$；
（4） 令$j=j-1=9, A[9] \lt x$;接下来令$i=3到9$，都有$A[i]\le x$，直到$i=10,A[i]=19\gt x$。此时$i>j$，故可以直接返回$j=9$，得到的序列为$A_2=\{6,2,9,5,12,8,7,4,11,19,13,21\}$。

b.

1. 如果子数组以升序互不相同的元素排列，那么将重复$j=j-1$直到$j=1$，然后将进行一次$i=i+1=1$，然后就会直接返回$j=1$，$j$最小只能访问到$A[1]$，不会访问子数组以外的数；
2. 无论如何首先$j$肯定至少进行一次$j=j-1=r=12$，然后因为$x=A[p]$，所以第一次$i=i+1=p$，然后就得停止。交换$A[j]和A[i]$之后$i\lt j$，所以至少还得进行一次$j=j-1$，所以$j最大只能取到$r-1$。
3. 因为至少会进行一次$i=i+1$，所以$i$最小只能访问$A[p]$；而且因为$A[j..r]$之间每个元素都大于等于$x$，所以重复$i=i+1$时，最多只能使$i=j+1$，所以$i$最大只能访问到$A[r]$不会超出子数组$A[p..r]$的范围。

c.

根据上面b小问的分析即可得知。

d.

从算法第5行到第7行知，每次循环中$A[j+1..r]\ge x$，从第8行到第10行可知，$A[p...j]\le x$。每次循环中，若$i<j$，则交换$A[i]与A[j]$，然后继续$j$的递减和$i$的递增，保持了$A[p..j] \le x$和$A[j+1..r]\gt x$，所以$A[j+1..r]\ge x，且A[p..j]\le x$，所以对于$A[p..j]$中的每个元素都小于或等于$A[j+1..r]$中的元素。

e.

QUICKSORT(A,p,r)
1 if p < r
2   q = HOARE-PARTITION(A,p,r)                                 
3   QUICKSORT(A,p,q)
4   QUICKSORT(A,q+1,r)

7-2

a.

此时算法的随机性完全没有影响，算法的时间复杂度为$O(n^2)$。

b.

PARTITION_1(A,p,r)
1  x = A[r]
2  i = p
3  t = r
4  j = p
5  while j <= t
6    if A[j] > x
7      exchange A[j] with A[t]
8      t = t - 1
9    else if A[j] < x
10     exchange A[i] with A[j]
11     i = i + 1
12     j = j + 1
13   else j = j + 1
14 return i and j

c.

RANDOMIZED-PARTITION_1(A, p, r)
1 i = RANDOM(p, r)
2 exchange A[r] with A[i]
3 return PARTITION_1(A, p, r)

RANDOMIZED-QUICKSORT(A, p, r)
1 if p < r
2   int[] q = RANDOMIZED-PARTITION_1(A, p, r)
3   if q[1] == p and q[2] = r
4     return
5   RANDOMIZED-PARTITION_1(A, p, q[1] - 1)
6   RANDOMIZED-PARTITION_1(A, q[2] + 1, r)

d.

直接将$Z_{ij}=\{z_i, z_{i+1},\cdots,z_j\}$中$z_i$定义为数组A中第$i$小的元素中的一个，则

$$Pr\{z_i与z_j进行比较\}=\frac{n_{z_i}}{n_{ij}}+\frac{n_{z_j}}{n_{ij}}\le \frac{2}{j-i+1}$$
后面的分析是一样的。

7-3

a.

$P(X_i)=\frac{1}{n}$，所以$E[X_i]=P(X_i)=\frac{1}{n}$

b.

首先PARTITION过程的运行时间为$\Theta(n)$，然后当主元为第$i$小的元素时，问题被分为规模分别为$q-1和n-q$的两个子问题，运行时间分别为$T(q-1)和T(n-1)$，所以

$$E[T(n)]=E[\sum_{q=1}^nX_q(T(q-1)+T(n-q)+\Theta(n))]$$

c.

$$\begin{align} E[T(n)]&=E[\sum_{q=1}^nX_q(T(q-1)+T(n-q)+\Theta(n))]\\ &=\sum_{q=1}^nE(X_q)E[T(q-1)+T(n-q)+\Theta(n)]\\ &=\sum_{q=1}^n\frac{1}{n}E[T(q-1)]+\sum_{q=1}^n\frac{1}{n}E[T(n-q)]+\sum_{q=1}^n\frac{1}{n}\Theta(n)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{q=2}^{n-1}E[T(q)]+\frac{1}{n}\sum_{q=0}^{n-1}E[T(q)]+\Theta(n)\\ &=\frac{2}{n}\sum_{q=2}^{n-1}E[T(q)]+\frac{1}{n}\{E[T(0)]+E[T(1)]\}+\Theta(n)\\ &=\frac{2}{n}\sum_{q=2}^{n-1}E[T(q)]+\Theta(n) \end{align}$$

d.

$$\begin{align} \sum_{k=2}^{n-1}klgk&=\sum_{k=2}^{\lceil n/2\rceil-1}klgk+\sum_{k=\lceil n/2\rceil}^{n-1}klgk\\ &\le \sum_{k=1}^{n/2}klg\frac{n}{2}+\sum_{k=n/2}^{n-1}klgn\\ &=lg\frac{n}{2}\cdot \frac{n^2+2n}{8}+lgn\cdot \frac{3n^2-2n}{8}\\ &=\frac{n^2}{8}lg\frac{n}{2}+\frac{3}{8}n^2lgn+\frac{n}{4}lg\frac{n}{2}-\frac{n}{4}lgn\\ &\le\frac{n^2}{8}lgn-\frac{n^2}{8}lg2+\frac{3}{8}n^2lgn\\ &=\frac{n^2}{2}lgn-\frac{n^2}{8} \end{align}$$

e.

假设对于某个正常数$a$和足够大的$n$，有$E[T(n)]\le anlgn$：

$$\begin{align} E[T(n)]&=\frac{2}{n}\sum_{q=2}^{n-1}E[T(q)]+\Theta(n)\\ &\le \frac{2}{n}\sum_{q=2}^{n-1}aq\cdot lgq+\Theta(n)\\ &\le \frac{2a}{n}(\frac{n^2}{2}lgn-\frac{n^2}{8})+\Theta(n)\\ &\le anlgn-\frac{an}{4}+\Theta(n)\\ &\le anlgn \end{align}$$
最后一步去适当的$a$使得$\frac{an}{4}-\Theta(n)<0$即可。故$E[T(n)=\Theta(nlgn)$。

7-4

a.

算法前面和快速排序是一样的，调用PARTITION后，递归调用了左边的子数组；然后通过将$p=q+1$，并经过循环，对右边的子数组进行了快速排序操作，与递归调用快速排序是一样的，所以能正确的对数组A进行排序。

b.

当数组本身就是按升序排列的，那么每次PARTITION操作后，左边的数组大小都只比原先的小一，所以一共会递归调用$n$次，即栈深度为$\Theta(n)$。

c.

TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT(A, p, r)
1 while p < r
2   q = PARTITION(A, p, r)
3   if q <=  (r+p)/2
4     TAIL-RECUISIVE-QUICKSORT(A, p, q-1)
5     p = q + 1
6   else
7     TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT(A, q + 1, r)
8     r = q

7-5

a.

$$p_i=\frac{A_3^3(i-1)(n-i)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{6(i-1)(n-i)}{n(n-1)(n-2)}$$

b.

$$\frac{p_x}{1/n}=\frac{6(\frac{n}{2}-1)(n-\frac{n}{2})}{(n-1)(n-2)}=\frac{3n(n-2)}{2(n-1)(n-2)}$$
当$n\to \infty$时，上式等于$\frac{3}{2}$，所以增加了$1/2$倍。

c.

三数取中法的好划分概率为

$$P^{'}=\sum_{i=n/3}^{2n/3}p_i\approx \int_\frac{n}{3}^\frac{2n}{3}\frac{6(i-1)(n-i)}{n(n-1)(n-2)}di=\frac{13n}{27(n-2)}$$
平凡实现为 $$P=\frac{2n/3-n/3}{n}=\frac{1}{3}$$
当$n\to \infty$时， $$P^{'}/P=13/9$$
增加了$4/9$倍。

d.

不知道。。。

7-6

不会。。。