算法导论第三版第8章思考题

8-1

a.

因为对于每一种输入，不可能能够到达同一片叶子，所以一共有$n!$片子是可以到达的。其次因为输入完全随机，每种输入概率相等且到叶子结点的路径是固定的，这$n!$个叶子结点的概率也是相等的，为$\frac{1}{n!}$。

b.

一共有$k$个叶子节点，那么一定会有$k$条从叶子节点到根结点的路径，所有的路径要么会经过$T$的左孩子节点，要么经过它的右孩子节点，即所有$k$条路径都会从$T$的左孩子节点或右孩子节点出发。然后这$k$条路径从根节点到它的左右孩子节点的路径长度总和为$k$，所以有

$$D(T)=D(LT)+D(RT)+k$$

c.

题目里面都已经说得很明显了，直接按题目和b小问里的结论就可以得出了。

d.

我们令$f(i)=ilgi+(k-i)lg(k-i)$，将$f(i)$对$i$进行求导得到 f′(i)=lgi+1−lg(k−i)−1=lg