算法导论第三版习题5.3

5.3-1

在进入循环前，先将在整个数组中随机选择一个数至于$A[1]$即可：

PERMUTE-IN-PLACE(A)
1  n=A.length
2  swap A[1] with A[RANDOM(1,n)]
3  for i=2 to n
4    swap A[i] with A[RANDOM(i,n)]

第二步其概率为$\frac{1}{n}$，后面一样

5.3-2

不能。虽然这个算法确实不会产生恒等排列，但是不能产生除恒等排列外的任意排列。因为算法第三步使所有$A[i]$不能至于原来的位置。例如，当$n=3$时，除恒等排列外一共应该有$n!-1=5$个排列，但该算法只能产生3个排列。

5.3-3

不会。。。

5.3-4

对于$A$中每个元素$A[i]$来说，当$offset$确定了，则$A[i]$将出现在$i+offset$位置（超过了$n$就减去$n$)，这样由于$offset=RANDOM(1,n)$，$offset$取$1-n$中任意一个的概率都为$1/n$，所以$A[i]$出现在$B$中任何替丁位置的概率都为$1/n$。
但是因为该算法只是在$1-n$之间取了一个数，然后将整个数组$A$向右平移了$offset$个位置，所以一共只能产生$n$个排列，而均匀随机排列一共应该有$n!$个，所以Aemstrong教授错了

5.3-5

在过程PERMUTE-BY-SORTING中，我们是在1到$n^3$这$n^3$个数中随机选择$n$个出来放在数组P中，所以对于P，其中每一个元素都唯一的概率为

$$Pr=\frac{n^3\cdot(n^3-1)\cdot\cdots\cdot(n^3-n+1)}{n^{3n}}$$
由于

$$n^3-n+1\gt n^3 -n^2=n^2(n-1)$$
所以
$$Pr\ge\frac{[n^2(n-1)]^n}{n^{3n}}$$
也即
$$Pr\ge\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}$$

5.3-6

可以对于相同的几个优先级的继续使用PERMUTE-BY-SORTING算法将其再次进行排序

5.3-7

算法实际执行的第一步为

$$S=\text{RANDOM-SAMPLE(0,n-m)}=\emptyset$$
第二步中取第一个元素$i=RANDOM(1,n-m+1)$，相当于在总集和的前$n-m+1$个元素中任选一个元素，概率为 $$\frac{1}{n-m+1}$$
之后娶第二个元素时，总集和中的前$n-m+2$个元素中，第一次已经取得了一个元素，故还剩$n-m+1$个元素，在这$n-m+1$个元素中在任取一个作为第二个元素，其概率也为 $$\frac{1}{n-m+1}$$
对于所有取得的$m$个元素，概率都为 $$\frac{1}{n-m+1}$$
故每个m子集是等可能的，且一共只取$m$次，故值调用RAMDOM函数$m$次