P2439 [SDOI2005]阶梯教室设备利用

题目描述

我们现有许多演讲要在阶梯教室中举行。每一个演讲都可以用唯一的起始和终止时间来确定，如果两个演讲时间有部分或全部重复，那么它们是无法同时在阶级教室中举行的。现在我们想要尽最大可能的利用这个教室，也就是说，我们需要在这些演讲中选择一些不重复的演讲来举行使得他们用的总时间尽可能的长。我们假设在某一演讲结束的瞬间我们就可以立即开始另一个演讲。

请写一个程序：

读入所有演讲的起始和终止时间，计算最大的可能演讲总时间。

输入格式

第一行包括一个正整数 nn，为所有的演讲的数目。

以下的 nn 行每行含有两个由空格隔开的整数 pp 和 kk。这样的一对整数表示一个演讲由时间 pp 开始到时间 kk 结束。

输出格式

输出唯一的一个整数，为最长的演讲总时间。

输入输出样例

INPUT

12
1 2
3 5
0 4
6 8
7 13
4 6
9 10
9 12
11 14
15 19
14 16
18 20

OUTPUT

16

Solution

考虑 $dp$，先对原数组排序，设 $f[i]$ 表示最后一个演讲的是第 $i$ 个（排序后），则
f[i]=max⁡1≤  j < i{f[j]}+Time(i)(i , j不重合)f[i]=\max\limits_{_{1\le\ \ j\ <\ i}}\{f[j]\}+Time(i)\tag {i\ ,\ j不重合}f[i]=1≤  j < i​max​{f[j]}+Time(i)(i , j不重合)
该方法时间复杂度 $O(N^2)$
考虑树状数组优化，按照时间储存信息，每次将 $f[i]$ 的值存在 $i$ 结束的时间点上，
复杂度 $O(N\log M)$

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1e4+5;

struct rec
{
	int a,b;
}p[N];

bool operator <(const rec &x,const rec &y)
{
	if(x.a!=y.a) return x.a<y.a;
	return x.b<y.b;
}

int n,f[N],c[N*3],ans,M;

int ask(int x)
{
	int res=0;
	for(;x;x-=x&-x) res=max(res,c[x]);
	return res;
}

void add(int x,int y)
{
	for(;x<=M;x+=x&-x) c[x]=max(c[x],y);
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&p[i].a,&p[i].b),M=max(M,p[i].b);
	sort(p+1,p+1+n);f[1]=p[1].b-p[1].a;add(p[1].b,f[1]);
	//O(N^2)
	/*for(register int i=2;i<=n;i++)
	{
		f[i]=p[i].b-p[i].a;
		for(register int j=1;j<i;j++)
			if(p[j].b<=p[i].a) f[i]=max(f[i],f[j]+p[i].b-p[i].a);
	}*/
	//O(NlogN)
	for(register int i=2;i<=n;i++)
	{
		f[i]=ask(p[i].a)+p[i].b-p[i].a;
		add(p[i].b,f[i]);
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

也可以以时间为阶段 $dp$ ，用 $vector$ 存储信息，复杂度 $O(M)$