大数开根

最新推荐文章于 2021-10-19 18:52:17 发布

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口胡

牛顿迭代是一种数值方法，可以快速地求出方程的解。
~~这玩意不一定收敛，然而开根是可以放心的。~~
对于方程 $f (x)$ ，已知一个逼近根的邻点 $x_0$ ，则有
$x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$
对于大数 $N$ 开 $p$ 次方根，实际上就是求解方程 $x^p -N = 0$ 。
则牛顿迭代的形式化简之后就是
$\frac{N - x_0^p} {p*x_0^{p-1}} + x_0$

注意事项

牛顿迭代对初值非常敏感，优秀的初值能极大地减少时空开销！

code:

板子题：P2293 [HNOI2004]高精度开根

自己写的牛顿迭代版本:

// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2

import java.io.FileInputStream;
import java.io.FileOutputStream;
import java.io.PrintStream;
import java.math.*;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    private static BigInteger Mysqrt(BigInteger N,int p) {
        if(N.equals(BigInteger.ZERO)) return BigInteger.ZERO;
        BigDecimal n = new BigDecimal(N);
        String str = N.toString();
        BigDecimal ans = new BigDecimal(str.substring(0,str.length()/p+1));
        BigDecimal tmp = BigDecimal.ONE;
        BigDecimal P = BigDecimal.valueOf(p);
        BigDecimal eps = BigDecimal.valueOf(0.1);
        int len = 2;
        while(true) {
            tmp = n.subtract(ans.pow(p)).divide(ans.pow(p-1).multiply(P),len,RoundingMode.HALF_DOWN).add(ans);
            if(tmp.subtract(ans).abs().compareTo(eps) == -1) break;
            ans = tmp;
        }
        if(ans.compareTo(tmp) >= 0) ans = tmp;
        BigInteger ret = ans.toBigInteger();
        if(ret.pow(p).compareTo(N)>0) ret = ret.subtract(BigInteger.ONE);
        if(ret.add(BigInteger.ONE).pow(p).compareTo(N)<=0) ret = ret.add(BigInteger.ONE);
        return ret;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int p = cin.nextInt();
        BigInteger n = cin.nextBigInteger();
        BigInteger ans  = Mysqrt(n,p);
        System.out.println(ans);
    }
}

从meto那里扒的神秘代码：

// luogu-judger-enable-o2
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
     
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in=new Scanner(System.in);
            int p=in.nextInt();
            BigInteger n=in.nextBigInteger();
            System.out.println(sqrt(n,p));
    }
    
    public static BigInteger sqrt(BigInteger n, int m) {
        if (n.compareTo(BigInteger.ONE) <= 0 || m <= 1) return n;
        BigInteger now = n.shiftRight((n.bitLength() - 1) * (m - 1) / m), last;
        do {
            last = now;
            now = last.multiply(BigInteger.valueOf(m-1)).add(n.divide(last.pow(m - 1))).divide(BigInteger.valueOf(m));
        } while (now.compareTo(last) < 0);
        return last;
    }
}