41、58轮SHA - 1的代数密码分析

58轮SHA - 1的代数密码分析

1. 预备知识

1.1 SHA - 1描述

SHA - 1是一种哈希函数，它能从长度小于$2^{64}$位的消息中生成160位的哈希值（或摘要）。输入消息会先进行填充，然后通过Merkle/Damgard迭代结构以512位消息块的形式进行处理。

对每个512位消息块应用一个80步的压缩函数。该压缩函数有两种输入：160位的链接输入和512位的消息输入。初始链接值（IV）是一组固定常量，最后一次调用压缩函数的结果就是消息的哈希值。

消息扩展的定义如下：填充消息的每个512位块被划分为16个32位字$(m_0, m_1, …, m_{15})$，然后根据以下线性关系进行扩展：
$m_i ←(m_{i - 3} ⊕ m_{i - 8} ⊕ m_{i - 14} ⊕ m_{i - 16}) ≪ 1$，对于所有$16 ≤ i ≤ 79$，其中$x ≪ n$表示32位字$x$的$n$位左旋转。

压缩函数对于所有$1 ≤ i ≤ 80$定义如下：
$a_i ←(a_{i - 1} ≪ 5) + f_i(b_{i - 1}, c_{i - 1}, d_{i - 1}) + e_{i - 1} + m_{i - 1} + k_i$
$b_i ← a_{i - 1}$
$c_i ← b_{i - 1} ≪ 30$
$d_i ← c_{i - 1}$
$e_i ← d_{i - 1}$

初始链接值$IV = (a_0, b_0, c_0, d_0, e_0)$等于$[0x67452301, 0xefcdab89, 0x98badcfe, 0x1