29、轨迹分组结构的分析与计算

轨迹分组结构的分析与计算

1. 分组结构概述

在对数据进行更详细的观察时，我们不会丢失最大组，而且组的规模和/或持续时间可能会扩展。我们使用 ε - 连通分量的 Reeb 图以及所有最大组的集合来捕捉分组结构。Reeb 图中不支持最大组的部分可以省略。分组结构能帮助我们回答各种问题，例如：
- 时间 t 时最大/最长的最大组是什么？
- 当前有多少实体在（不在）任何最大组中？
- 时间 t 之后开始/结束的第一个最大组是什么？
- 一个实体成为任何最大组一部分的总时间是多少？
- 哪个实体与最多的其他实体共享最大组？

此外，分组结构可用于将轨迹划分为独立的数据集，可视化轨迹的分组方面，以及比较不同数据集之间的分组情况。

2. 表示分组结构

2.1 基本设定

设 X 是 n 个实体的集合，每个实体沿着 τ 条边的路径移动。为了计算分组结构，我们考虑 $\mathbb{R}^3$ 中的流形 M，其中 z 轴对应时间。流形 M 是 n 个“管”的并集。每个管由 τ 个倾斜的圆柱体组成，其水平半径为 ε，这些圆柱体是通过追踪实体 x 在其轨迹上的 ε - 圆盘得到的。

设 $H_t$ 表示高度为 t 的水平面，则集合 $M \cap H_t$ 是 t 的水平集。t 的水平集中的连通分量对应于时间 t 时的分量（ε - 连通实体的最大集合）。我们假设所有轨迹在相同的时间 $t_0, \cdots, t_{\tau}$ 具有已知位置，并且没有三个实体同时变得 ε - 连通或断开连接。虽然理论不依赖于这些假设，但它们使描述更加清晰。

2.2 Reeb 图