28、整数向量同质段解释与轨迹分组结构研究

整数向量同质段解释与轨迹分组结构研究

整数向量解释问题

在整数向量解释问题中，我们聚焦于 VE+ 问题，它以最大值 γ 为参数。相关研究表明，除非 NP ⊆ coNP/poly，否则 VE+ 关于参数 γ 不存在多项式规模的问题核。

我们通过将 3 - 划分问题归约到 VE+ 问题来证明这一点。对于单个 3 - 划分问题实例 (S, B)，我们将其归约为 VE+ 的实例 (A′, 3m)。具体来说，定义 A′ 为长度为 (4m - 1) 的向量：
[
A’ = \left[a_1, a_1 + a_2, \ldots, \sum_{i = 1}^{j}a_i, \ldots, \sum_{i = 1}^{3m}a_i = mB, (m - 1)B, (m - 2)B, \ldots, B\right]
]
- 正向推导 ：若 S 的一个划分 (P_1, \ldots, P_m) 构成解，那么集合 ({[i, 3m + j] | a_i \in P_j}) 中每个段的权重 (w([i, 3m + j]) = a_i) 就是向量 A′ 的一个解释。
- 反向推导 ：若 (I, w) 是 (A′, 3m) 的一个解释，根据引理 1，我们可以假设每个段从上升点开始，在下降点结束。所以 I 包含 3m 个段，且从位置 i 开始的段权重为 (a_i)。由于对于每个 (a_i \in S) 有 (B/4 < a_i < B/2)，恰好有三个段在大小为 B 的下降点结束。因此，根据段结束的位置对段进行分组，我们就能得到 S 的所需划分，从而解决 3 - 划分问题实例。