19、z变换：原理、性质与逆变换方法

z变换：原理、性质与逆变换方法

1. z变换基础

z变换是信号与系统领域中的重要工具，与拉普拉斯变换类似，它能将离散时间信号转换到z域进行分析。对于单位样本序列$\delta[n]$，当$m = 0$时，$Z{\delta[n]} = 1$。例如，对于单位样本序列$x[n] = \begin{cases}1, & n = 0 \ 0, & n \neq 0\end{cases}$，其z变换结果为1。

2. 收敛域（ROC）

z变换$X(z)$并非对所有的$z$值都收敛，只有在特定的$z$值范围内收敛，这个范围被称为收敛域（ROC）。收敛域有多种形式：
- 圆内：如$|z| < |a|$；
- 圆外：如$|z| > |a|$；
- 环形区域：如$|a| < |z| < |b|$。

需要注意的是，收敛域不包含极点，因为在极点处z变换不收敛。下面通过几个例子来说明如何确定收敛域：
- 例1 ：求指数离散时间信号$x[n] = a^n u[n]$的z变换及收敛域。
- 首先，根据z变换的定义，$X(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a^n z^{-n} = 1 + \frac{a}{z} + (\frac{a}{z})^2 + (\frac{a}{z})^3 + \cdots$，这是一个几何级数，形式为$\sum_{n = 0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1 - q}$（$|q| < 1$），这里$q = \frac{a}{z}$。
- 所以，$X(z) = \frac{1}{1