15、傅里叶变换：原理、应用与MATLAB计算

傅里叶变换：原理、应用与MATLAB计算

1. 傅里叶变换基础

傅里叶变换在信号与系统领域有着广泛的应用。通过对各项进行傅里叶变换，我们可以得到相应的频域表达式。例如，在某些情况下，对信号进行傅里叶变换后，可得到如 $\omega$ 相关的表达式。

1.1 练习问题

对于图 5.8 所示的函数，其傅里叶变换为 $Y(j\omega)=\frac{10(\sin2\omega - 2\sin\omega)}{2}$。

2. 逆傅里叶变换

一般情况下，我们使用公式 (5.7) 来求 $X(\omega)$ 的逆傅里叶变换 $x(t)$。当傅里叶变换为有理函数形式时，我们会对 $X(\omega)$ 进行部分分式展开，然后利用表 5.2 中的傅里叶变换对来找到对应的时域信号，这一过程与拉普拉斯变换的处理方法类似。

2.1 示例

2.1.1 示例 5.6a

求 $G(\omega)=\frac{10}{(j\omega - 2)(j\omega + 3)}$ 的逆傅里叶变换。
为避免复杂的代数运算，令 $s = j\omega$，进行部分分式展开：
$G(s)=\frac{10}{(s - 2)(s + 3)}=\frac{A}{s - 2}+\frac{B}{s + 3}$
通过计算可得 $A = -4$，$B = 6$，则 $G(j\omega)=\frac{-4}{j\omega - 2}+\frac{6}{j\omega + 3}$
对各项取逆傅里叶变换，得到 $g(t)= -4e^{2t}u(-t) - 6e^{-3t}u(