10、拉普拉斯变换的应用与MATLAB计算

拉普拉斯变换的应用与MATLAB计算

1. 拉普拉斯变换的基本概念与传递函数

拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为频域信号的重要工具。其单边形式定义为：
[L[x(t)] = X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt]
其中，使得 (X(s)) 存在的 (s) 值构成了收敛域。

在某些系统分析中，通过消除一些变量可以得到传递函数。例如，消除 (E_1)、(E_2) 和 (E_3) 后，经过整理可得到传递函数 (H(s))：
[H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{G_1(s) G_2(s) G_3(s)}{1 + F_1(s) G_3(s) + F_2(s) G_2(s) G_3(s)}]

练习题3.16 ：求图3.12所示反馈系统的总传递函数。
答案：(H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 3s^2 + 3s + 2})

2. 拉普拉斯变换的应用

拉普拉斯变换在多个领域都有广泛的应用，下面主要介绍在积分微分方程、电路分析和控制系统中的应用。

2.1 积分微分方程

拉普拉斯变换可用于求解常系数线性积分微分方程。基本步骤如下：
1. 对积分微分方程中的每一项应用拉普拉斯变换的微分和积分性质。
2. 自动纳入初始条件。
3. 在 (s) 域中求解得到的代数方程。
4. 使用拉普拉斯逆变换将解转换回时域。

例3.17 ：考虑系统 (\frac{d^2y