49、双倍度量下聚类问题的PTAS框架

双倍度量下聚类问题的PTAS框架

在聚类问题的研究中，双倍度量下的相关问题有着重要的地位。本文将围绕双倍度量下的聚类问题展开，介绍一种多项式时间近似方案（PTAS）框架，重点探讨GCF k - CMedian问题以及k - 中位数带服务安装成本问题（k - MSIC）。

1. GCF k - CMedian问题预处理

对于GCF k - CMedian问题的实例$(X, dist, C, F, k, C)$，为满足输入度量的纵横比假设（纵横比$\Delta$最多为$O(n^4/\epsilon)$，其中$n$是$C \cup F$的大小，$\epsilon$是常数），我们进行如下预处理：
通过特定的预处理步骤处理$X$中的点，使用$OPT$表示GCF k - CMedian问题的最优解。存在一个引理表明，可将度量的纵横比进行多项式有界，这会在近似保证中引入额外的$\epsilon cost(OPT)$损失。
- 引理1 ：给定GCF k - CMedian问题的实例$I = (X, dist, C, F, k, C)$和实数$\epsilon > 0$，存在一个GCF k - CMedian问题的实例$I’ = (X, dist’, C, F, k, C)$，其度量距离函数满足度量的纵横比最多为$O(n^4/\epsilon)$，并且对于任何常数$\lambda > 1$，$I’$的任何$\lambda$ - 近似解都是$I$的$(1 + \epsilon)\lambda$ - 近似解。可以在多项式时间内构造包含这样一个实例$I’$的$|C||F|$个实例的集合。为了便于表述，后续将度量距离函数$dist’$重置为$dist$。