48、在线图问题与聚类问题算法研究

在线图问题与聚类问题算法研究

1. 延迟顶点覆盖问题分析

在图算法中，延迟顶点覆盖问题是一个重要的研究方向。考虑一种算法在处理顶点 (u_1) 和 (u_2) 时，在最佳情况下，该算法得到大小为 3 的顶点覆盖和两个临时覆盖，其竞争比最好为 (\frac{3}{2} + \alpha)，这比 (1 + 2\alpha) 要差。

一般情况下，当不可撤销地选择了 (u_1, \cdots, u_{k - 1}) 和 (v_2, \cdots, v_{k - 1})，并临时选择了 (v_1) 后，对手会给出与 (v_k) 相连的顶点 (u_k)。如果算法选择保留任何一个端点或者不可撤销地选择 (u_i)，对手就会给出顶点 (u_0) 并结束请求序列。此时，最优顶点覆盖只包含 (v_i)（(i = 1, \cdots, k)），大小为 (k)；而算法除了之前不可撤销选择的顶点外，还必须选择 (v_1) 和 (v_k)，至少得到大小为 (2k - 1) 的顶点覆盖以及两个临时选择的顶点，竞争比为 (\frac{2k - 1 + 2\alpha}{k} = 2 - \frac{1 - 2\alpha}{k} \geq 1 + 2\alpha)（(k \geq 1)）。

另一种情况是，在不可撤销地选择了顶点 (u_1, \cdots, u_{k - 1}) 和 (v_2, \cdots, v_k) 后，对手给出与 (u_k) 相连的顶点 (v_{k + 1})。如果算法选择保留两个端点之一或者不可撤销地选择 (v_{k + 1})，对手就会停止请求序列。这种图的最优顶点覆盖由 (u_i)（(i = 1, \cdots, k)）组成，大小为 (k)；算法为了得到顶点覆盖必须选择 (u_i)，至少