31、自稳定着色与分组测试问题解析

自稳定着色与分组测试问题解析

自稳定 (Δ + 1) 着色算法

在图着色问题中，自稳定 (Δ + 1) 着色算法是一个重要的研究方向。该算法旨在将图中的顶点用最多 Δ + 1 种颜色进行着色，使得相邻顶点颜色不同。

算法存储结构

每个顶点 v 的存储区域分为 ROM 和 RAM 两部分：
- ROM 区域 ：存储顶点的标识 id(v)、图的参数 n 和 Δ，以及程序代码。
- RAM 区域 ：存储其局部邻域的颜色、大小为 Δ 的布尔向量 Tv，以及执行过程中使用的其他变量。

布尔向量 Tv 用于确定与顶点 v 相关联的边的方向，取代了原来的 c(v)。对于每条边 (v, u)，顶点 v 在 Tv 中维护一个位 Tv[u]，当且仅当 Tv[u] = 1 时，认为 v 指向 u。这样做的原因是在自稳定设置中，对手可能会采用某种策略使 c 值无限增长。但这种替换也带来了一些副作用，即 v 必须为每条关联边维护一个变量来确定其方向，并且相邻顶点 v 和 u 需要交换位条目 Tv[u] 和 Tu[v] 才能正确确定边 (v, u) 的方向。

算法阶段

自稳定着色算法包含三个阶段：
1. Linial 阶段 ：在每一轮 t 开始时，如果顶点 v 发现其颜色 φt−1(v) 不在 I2 ∪ I3 中，会进行错误检查。若满足以下条件之一：颜色与某个邻居冲突；颜色不在 (∪i=1r∗ I(i)1 ) ∪ I2 ∪ I3 中（这意味着 v 应该处于 Linial 阶段的第一次迭代，但当前颜色