6、流式处理与单次查询空间复杂度解析

流式处理与单次查询空间复杂度解析

1. 预备知识

1.1 符号表示

• 用 $[n]$ 表示所有不超过 $n$ 的正整数集合，$[a, b]$ 表示所有至少为 $a$ 且至多为 $b$ 的整数集合。
• 对于任意索引集合 $I \subseteq [n]$，$x|I$ 表示 $x$ 限制在 $I$ 中索引的子序列。例如，若 $I = {i_1, i_2, \ldots, i_t}$ 且 $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_t \leq n$，则 $x|I = x_{i_1}x_{i_2} \cdots x_{i_t}$。

1.2 分支程序

一个 $R$ 路分支程序由一个出度为 $R = R(n)$ 的有向无环根图组成，每个非汇点节点由 ${1, 2, \ldots, n}$ 中的一个索引标记，每个节点的 $R$ 条出边分别标记为 $1, \ldots, R$，边也可由某个输出域的一系列值标记。分支程序的大小是其节点的数量。

计算过程如下：
1. 计算从分支程序的根节点开始。
2. 遇到每个非汇点节点 $v$ 时，计算沿着标记为 $x_i$ 值的出边进行，其中 $i$ 是标记节点 $v$ 的索引（即在 $v$ 处查询变量 $x_i$）。
3. 当到达汇点节点时，计算终止。

分支程序使用的时间是任何输入所遵循的最长计算路径的长度，使用的空间是其大小的以 2 为底的对数。

如果底层图的节点被分配了层级，使得根节点层级为 0，且层级为 $l$ 的节点的出边仅指向层级为 $l + 1$