76、Arthur - Merlin 流式复杂度解析

Arthur - Merlin 流式复杂度解析

1. 预备知识

1.1 MA 通信复杂度

在 MA 通信复杂度协议中，存在一个（可能是部分的）函数 (f: X \times Y \to {0, 1})（其中 (X) 和 (Y) 是有限集），以及三个计算能力无界的参与者：Merlin、Alice 和 Bob。函数 (f) 为所有参与者所知。Alice 获得输入 (x \in X)，Bob 获得输入 (y \in Y)，Merlin 能看到 (x) 和 (y)。我们将 Merlin 视为证明者，Alice 和 Bob 视为验证者，并且假设 Alice 和 Bob 共享一个 Merlin 看不到的私有随机字符串。

MA 通信复杂度协议开始时，Merlin 向 Alice 和 Bob 发送一个证明字符串 (w)，使得两个玩家都能自由访问 (w)。协议中，玩家轮流发送一位信息给对方，协议结束时，两个玩家都要知道答案 (z)，答案取决于输入 ((x, y)) 和证明 (w)。对于协议 (P)，用 (P((x, y), w)) 表示协议在输入 ((x, y)) 和证明 (w) 下的概率答案 (z)。

MA 通信复杂度协议有三个参数：
- 协议的错误概率上限 (\epsilon)。
- Alice 和 Bob 之间通信的比特数上限 (T)。
- Merlin 的证明字符串长度上限 (W)。

MA(\epsilon(T, W)) 通信复杂度定义如下：
- 完备性 ：对于所有 ((x, y) \in f^{-1}(1))，存在字符串 (w) 满足 (|w| < W)，使得