3、条件自动复杂度及其度量

条件自动复杂度及其度量

1. 引言

在研究中，我们发现可以基于条件非确定性自动复杂度 $AN$ 来定义类似于杰卡德距离（Jaccard distance）和归一化信息距离（Normalized Information Distance）的度量。这一工作延续了香农（1950 年）关于熵度量以及加奇（1974 年）关于信息对称性等方面的研究路径。

Shallit 和 Wang 在 2001 年将一个单词 $w$ 的自动复杂度大致定义为接受 $w$ 且不接受其他相同长度单词的有限自动机的最小状态数。不过，这个定义似乎有些人为设定的感觉，因为不太清楚单词 $w$ 的长度在定义其复杂度时是如何具体参与的。而在本文中，我们将看到条件自动复杂度是如何巧妙地解决这个问题的。

下面是一些相关的定义：
- 唯一接受非确定性自动复杂度 $AN(w) = ANu(w)$ ：对于一个单词 $w$，它是指一个非确定性有限自动机（NFA）$M$ 的最小状态数，使得 $M$ 接受 $w$，并且 $M$ 接受长度为 $|w|$ 的单词的路径数为 1。
- 精确接受非确定性自动复杂度 $ANe(w)$ ：是指一个 NFA $M$ 的最小状态数，使得 $M$ 接受 $w$，并且 $M$ 所识别的语言 $L(M)$ 与长度为 $|w|$ 的所有单词集合的交集仅为 ${w}$。
- 确定性自动复杂度 $A(w)$ ：是指一个确定性有限自动机（DFA）$M$ 的最小状态数，满足 $L(M)$ 与长度为 $|w|$ 的所有单词集合的交集为 ${w}$。
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