4、条件自动复杂度及其度量与最长递增子序列的空间复杂度研究

条件自动复杂度及其度量与最长递增子序列的空间复杂度研究

条件自动复杂度相关定理

在条件自动复杂度领域，有几个重要的定理。
- 定理18 ：设 (x, y \in \Sigma^+)，以下四个条件等价：
1. (xy = yx)。
2. 存在 (z \in \Sigma) 和整数 (k, l > 0) 使得 (x = z^k) 且 (y = z^l)。
3. 存在整数 (i, j > 0) 使得 (x^i = y^j)。
- 定理19 ：如果 (A_N(w|w|) < |w|)，那么 (w) 不是本原的（因此不具有最大的 (A_N) 复杂度）。
- 证明思路 ：若 (A_N(w|w|) < |w|)，则 (A_N(w|w|) \leq |w| - 1)。因为 (|w|w|| = |w|^2) 且对于所有 (k) 有 (k - 1 \ngeq (k^2 + 1)/(k + 1))，所以 (A_N(w|w|) \ngeq \frac{|w|^2 + 1}{|w| + 1})。根据定理15，(w|w|) 包含一个 ((|w| + 1)) 次幂 (u^{|w| + 1})，从而 ((|w| + 1)|u| \leq |w|^2)，可得 (|u| < |w|)。由于 (w|w|) 也包含 (u^{|w|})，存在 (w) 的一个循环移位 (\tilde{w}) 使得 (u^{|w|} = \tilde{w}^{|u|})。设 (g = \gcd(|w|, |u|))，则 (u^{|w|/g} = \tilde{w}^{|u|/g}