13、概率多项式时间算法的深入解析

概率多项式时间算法的深入解析

1. 概率图灵机与概率多项式时间语言

在密码学领域，概率图灵机是一个重要的概念。通常，如果一种语言不在某个特定集合中，就不存在能高效识别它的图灵机。但存在一类语言，虽未被证明属于该集合，却能被一种可能出错的图灵机高效识别，这种图灵机就是非确定性图灵机。

非确定性图灵机在操作的某些步骤会进行随机移动，随机移动可能导致正确或错误的结果。当非确定性图灵机回答决策问题时出错的概率被一个常数所界定，我们就称其为概率图灵机。概率图灵机有多个磁带，其中一个是包含均匀分布随机符号的随机磁带。在扫描输入实例 (I) 时，它会与随机磁带交互，获取随机符号后像确定性图灵机一样运行。随机字符串就是概率图灵机的随机输入，这使得对输入实例 (I) 的识别不再是 (I) 的确定性函数，而是与一个随机变量相关联，该随机变量为识别 (I) 的事件赋予了一定的错误概率。

能被概率图灵机识别的语言类被称为概率多项式时间（PPT）语言，记为 (\mathcal{PP})。对于语言 (L)，若存在概率图灵机 (PM) 和多项式 (p(n))，使得 (PM) 能以一定错误概率识别 (L) 中的任何实例 (I)，且识别时间 (T_{PM}(n) \leq p(n))（(n) 是表示实例 (I) 大小的整数参数），则 (L) 属于 (\mathcal{PP})。这里的“一定错误概率”可用两个条件概率界限表达式来表示：
- 表达式（4.4.1）是对实例正确识别的概率界限，称为完备性概率（界限），其作用是限制对实例错误拒绝的可能性。
- 表达式（4.4.2）是对非实例错误识别的概率界限，称为可靠性概率（界限），需要对该概率进行上限界定。

2. 错误概率的特征分