0716-常数时间,线性时间,多项式时间

本文深入解析了常数时间、线性时间、多项式时间和指数时间等算法时间复杂度概念,通过具体实例说明了不同时间复杂度之间的差异及随输入规模n增大时的耗时变化规律。

常数时间,意思就是无论n是什么值运算所花时间都一样。

线性时间则是说多大n就花多少时间。

多项式时间则意味着随着n增大,n每增加1所花的时间增长越来越多。对于n^2-3这样一个多项式时间来说,n=2的时候可能只要花1的时间,甚至低于线性时间,但n=4的时候可能就要花13的时间了,可以想象再大一些这个数值会变得巨大。但是它又不及指数时间增长快(m^n),且m^n不能写成多项式形式,所以它又和多项式时间有区别。

而且,这个增长变速的特性是不受参数限制的。也就是说,无论你把m*n^2的m这个常量改成多么微小的一个值,总有一个n让这个多项式的值大于n,也就是说到这一刻多项式时间的算法耗时高于了线性时间的算法,之后耗时差距一定会越来越大。这一特性是多项式本身的性质决定的。类似,指数级时间也是如此,无论你将n的一个多项式中的所有常量设置到多大,总有一个n的指数值大于多项式值。所以我们说指数时间大于多项式时间,我们说多项式时间大于线性时间,我们还说线性时间大于常数时间,一定要注意这些大于并不是对于所有n的所有情况成立的,只是在说随着n增加前者一定超过后者。



作者:沈万马
链接:https://www.zhihu.com/question/24653072/answer/28547757
来源:知乎
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### 时间常数的定义和计算公式 时间常数是描述系统动态特性的重要参数,通常用于表示系统从初始状态到稳态所需的时间过程。在不同的领域中,时间常数的具体定义和计算方式有所不同。 #### 1. RC电路中的时间常数 在电阻和电容组成的电路中,时间常数(记为τ)是电阻R与电容C的乘积[^2]。其计算公式为: ```math τ = R \cdot C ``` 如果电容单位为微法(μF),电阻单位为兆欧(MΩ),则时间常数的单位为秒。时间常数的意义在于,当电路接通恒定电流时,电容端电压达到最大值的约63%所需的时间即为一个时间常数;而在断开电路时,电容端电压降至最大值的约37%所需的时间同样为一个时间常数。 #### 2. 惯性时间常数 在电力系统中,惯性时间常数H(以秒为单位)是单机惯性能力的核心参数,反映了发电机或电力系统对扰动的响应速度[^4]。对于同步发电机,惯性时间常数计算公式通常为: ```math H = \frac{J \cdot ω_0}{2 \cdot P_r} ``` 其中,\( J \) 是转子的转动惯量(kg·m²),\( ω_0 \) 是额定角速度(rad/s),\( P_r \) 是额定功率(W)。惯性时间常数越大,系统对外部扰动的抵抗能力越强。 #### 3. 混响时间中的时间常数 在声学领域,混响时间是指声音在房间内衰减到初始强度的百万分之一所需要的时间,通常用T60表示。赛宾公式和依琳公式是两种常用的混响时间计算方法。依琳公式的表达形式为: ```math T = -\frac{V}{c \cdot S} \cdot \ln(1 - \bar{a}) ``` 其中,\( V \) 是房间体积(m³),\( c \) 是声速(m/s),\( S \) 是房间总表面积(m²),\( \bar{a} \) 是平均吸声系数[^1]。当吸声系数较小时,依琳公式的结果接近赛宾公式;但随着吸声系数增大,两者的差异逐渐明显。 #### 4. 一般系统的响应时间常数 对于一般的动态系统,时间常数可以理解为系统输出从初始值变化到稳态值的63.2%所需的时间。如果系统的传递函数为一阶形式: ```math G(s) = \frac{1}{τs + 1} ``` 那么时间常数 \( τ \) 即为系统的时间常数。通过阶跃响应测试,可以从实验数据中估算出时间常数的值[^3]。 ### 示例代码 以下是一个简单的Python代码,用于计算RC电路的时间常数: ```python def calculate_rc_time_constant(resistance, capacitance): """ 计算RC电路的时间常数。 参数: resistance (float): 电阻值,单位为欧姆。 capacitance (float): 电容值,单位为法拉。 返回: float: 时间常数,单位为秒。 """ return resistance * capacitance # 示例 R = 1e6 # 1 MΩ C = 1e-6 # 1 μF tau = calculate_rc_time_constant(R, C) print(f"时间常数: {tau} 秒") ```
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