基础DP (1) Max Sum Plus Plus(动态规划+m子段和的最大值)

最新推荐文章于 2020-10-20 23:32:14 发布

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本文介绍了一种使用动态规划(DP)方法解决在数组中寻找特定数量的不重叠区间，使得这些区间和最大的问题。通过一维DP数组和Max数组优化，解决了查询超时和数组过大的问题，并提供了C++实现代码。

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题目地址：https://vjudge.net/contest/295210#problem

参考博客：https://blog.youkuaiyun.com/codeswarrior/article/details/80310401

题目大意：输入m，n，和a[i](1<=i<=n)，在a数组中找m个不重叠的区间，且区间和最大。

方法：dp.

用dp[i][j]来存前j个数分成i个区间的后所有区间和，所以会出现两种情况：a[j]+dp[i][j-1] (即a[j]不新开一个区间，而存入前一个区间中去)，或者a[j]自己新开一个区间a[i]+dp[i-1][k](即将a[j]存入)；状态转移方程：

$dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+a[j],max(dp[i-1][k])+a[j]) (k<j)$

但是，这个方法会出现两个问题：查询超时，数组太大。

在原来的基础下进行改进。dp开成一维数组，再开一个Max数组（Max[i][j]表示前j个数将会分成i（可能是分成i-1或者i-2或者....i-i+1）个区间后的最大区间和，但是这里开二维的话还是会出现超时和数组太大的问题，所以这里也用一维数组，具体操作方法，请看代码）。既然知道了解决方法那么给出新的状态转移方程：

$dp[j]=max(dp[j-1]+a[j],Max[j-1]+a[j])$

如果这题用c++写的话，用int来表示就行了，如果非要用long long ,最好加个ios::sync_with_stdio(false);

code:

/*
https://vjudge.net/contest/295210#problem/A
*/
#include<iostream>
#include<string.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int inf=0x7fffffff;
const int maxn=1000005;

int dp[maxn],Max[maxn],a[maxn];

int main(){
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m;
	int i,j;
	int ma;
	while(cin>>m>>n){
		for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
		memset(dp,0,sizeof dp);
		memset(Max,0,sizeof Max);
		
		for(i=1;i<=m;i++){
			ma=-inf;
			for(j=i;j<=n;j++){//分成i个区间，至少需要i个数。
				dp[j]=max(dp[j-1]+a[j],Max[j-1]+a[j]);
				Max[j-1]=ma;
				ma=max(ma,dp[j]);
			}
		}
		
		cout<<ma<<endl;
	}
	return 0;
}

注意初始化！！！