leetcode276周赛记录（待补充）

T2-达到目标的最小操作次数

• intution:要充分利用加倍，必须在数尽量大时加倍。

  • 如果target是奇数，则最后一步一定是递增1.
  • 如果target是偶数，则最后一步是什么？

贪心选择

• 一定存在一种最优解，在target是偶数时，最后一步的操作是加倍。
• 证明：如果所有的最优解最后一步都不是加倍。任取一个最优解，最后一步加倍在小于target/2的数上进行，设为$k$。即将$k$加倍到$2k$后再将其递增到target。从k开始，这个最优解的操作次数为：将k加倍到2k，从2k递增到target，总操作次数target - 2k + 1;而如果直接将k先递增到$target/2$,再将其翻倍，总操作次数$target/2-k+1$，显然得到了一个更有的解，矛盾。

最优子结构（显然）

递归算法

class Solution {
    public int minMoves(int target, int maxDoubles) {
        if(target == 1)
            return 0;
        if(maxDoubles == 0)
            return target - 1;
        if(target % 2 == 0)
            return minMoves(target / 2,maxDoubles - 1) + 1;
        else return minMoves((target - 1)/2,maxDoubles - 1) + 2;
    }
}

T4-同时运行 N 台电脑的最长时间

二分

• 前面周赛遇到过类似的题。确定可能的解空间后，使用二分查找找到最优解。
• 但问题的关键在于：给定一个时间，判断电脑是否能同时运行如此之长？关键在于形式化。
• 使用矩阵处理（想不到）。给定待判时间$k$，电脑数目$n$，设矩阵$A\in R^{kn}$,$A_{ij}$表示第i分钟电脑j使用电池$A_{ij}$，$A_{ij}\in [0,m-1]$为电池编号,A是合法矩阵的充分必要条件是(也就是k是一个可行解)
  • 矩阵A的每一行元素互不相同
  • $\forall x\in [0,m-1]$，其在A中出现的次数小于等于$battery[x]$

设：occ(x)=min{k,battery[x]}occ(x) =min\{k,battery[x]\}occ(x)=min{k,battery[x]}若A合法，则x在矩阵A中出现的次数小于等于occ(x)

• 命题：$A$是合法矩阵的充要条件是$$\sum _{x=0}^{m-1}occ(x)\ge k\cdot n$$
  • 如果A合法， ${\sum }_{x\in A}occ(x)\ge k\cdot n$,而${\sum }_{x=0}^{m-1}occ(x)\ge {\sum }_{x\in A}occ(x)\ge k\cdot n$,即证。
  • 反之，如果${\sum }_{x=0}^{m-1}occ(x)\ge k\cdot n$， 对于每个x，将其填入A的不同行中occ(x)次。对于每个x重复直到将A填满。由occ(x)的定义，A是合法的。
• 于是对于给定的k，只需判断${\sum }_{x=0}^{m-1}occ(x)\ge k\cdot n$是否成立，即可确定k是否是可行解。确定Binary Search的上界为$\lfloor {\sum }_{i}battery[i]/n\rfloor$,下界为0，搜索最后一个满足条件的k值。采用先前总结的二分查找框架实现：

class Solution {
    public long maxRunTime(int n, int[] batteries) {
        long high = 0;
        for(int i : batteries)
            high += (long)i;
        high/=n;
        long low = 1;
        high++;
        while(low < high)
        {
            long mid = low + ((high - low) >> 1);
            long check = 0;
            for(int i : batteries)
                check += Math.min((long)i,mid);
            if(check >= mid * n)
                low = mid + 1;
            else high = mid;
        }
        return low - 1;
    }
}

贪心（待补充）