Sieve of Eratosthenes algorithm

最新推荐文章于 2024-06-20 16:15:00 发布

原创最新推荐文章于 2024-06-20 16:15:00 发布 · 259 阅读

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#算法

这篇博客介绍了如何使用优化后的算法找出小于给定整数n的所有素数。核心思路是通过标记法，从2开始遍历，将非素数标记为false，并跳过已标记的数的倍数，从而提高效率。最终只需遍历到n的平方根即可，减少了计算量。代码实现中展示了如何用Java实现这一算法。

Given an integer n, return the number of prime numbers that are strictly less than n.

基本思路：小于n的数的所有倍数都不是素数。

初始阶段，设所有的数都是素数即标记为True。每遇到一个不是素数的数，将其进行标记为false。
从2开始遍历小于n的所有数，如果这个数被标记为true，则从其开始枚举。
- 具体地，从2开始枚举。2的所有小于n的倍数都不是小于n的素数。
- 再从3开始枚举。注意此时由于2的情况都已经枚举过了，因此没有必要再枚举3小于3的倍数了。直接从3*3枚举即可
- 没有必要从4开始枚举，因为4已经是2的倍数了。所有4的小于n的倍数已经再2的小于n的倍数中枚举过了。
  - 于是可以得出，只需要枚举质数即可。
  - 但是之前由于已经剔除掉了2的小于n的倍数中不是素数的部分，即4已经被标记。4自然不会被枚举到了。
最后，无需遍历所有小于n的标记为true的数。
- 只需要从所有小于 $n\sqrt{n}$ 的数开始枚举。
- 因为所有小于 $n$ 的合数都有小于 $n\sqrt{n}$ 的因数。

    public int countPrimes(int n) {
        if(n<=1)
            return 0;
        boolean[] isPrimes = new boolean[n];
        Arrays.fill(isPrimes,true);
        int ans = 0;
        for(int i = 2;i * i<n;i++)
        {
            if(isPrimes[i])
            {
                for(int j = i * i;j <n;j+=i)   //i的倍数
                {
                    isPrimes[j] = false;
                }
            }
        }
        for(int i = 2;i<=n-1;i++)
            if(isPrimes[i])
                ans++;
        return ans;
    }