2017.10.15 网络流小结：

Description
一块n*m的草坪，有两种高度的草，#表示较高的草，.表示较矮的草，现在要从左往右和从上往下用收割机收割，在相同高度的草坪上收割机不耗油，当高度变化时需要耗花费为a的油，还可以花费b改变任一块草坪的高度，问这n+m排收割机扫过这块草坪需要的最小花费
Input
第一行四整数n,m,a,b分别表示草坪行列数和两种花费，之后一个n*m矩阵表示该草坪(1<=n,m<=50,1<=a,b<=1e5)
Output
输出最小花费
Sample Input
这里写图片描述
Sample Output
11000

我们要求最小花费，不难想到最小割，那么考虑建图。


①首先我们可以将点分成两类，这样我们使得低地分成一类，剩下的分成一类，那么就构成了二分图。

我们将源点连入各个低地点，流为B，我们再将各个高地点连入汇点，流也为B.


②然后我们将各个相邻的点，都要连上，流为A.jk
这样我们只有当高地和低地同时存在的时候，才会有所花费（有流从源点到汇点。）。

建好图之后跑最大流即可。

二：

参考：http://blog.youkuaiyun.com/mypsq/article/details/38303535
题目大意：给出一个n行m列的矩阵，每个坐标上都有一个权值，可以最多走k次（注意不是k步），每一次行走可以任意选择起点（必须是没有走过的点），然后可以向右或者向下走任意的步数，每一步可以跨越任意的格数，前提是满足题目的限制条件，每走一步耗费的能量是两坐标的曼哈顿距离-1，加入走的当前点的权值和前一步的权值一样，可以获得该权值的能量，问在k次行走内，走完每一格且仅走一次，最多可以获得多少能量：这道题目主要是建图，k次的建图非常巧妙。

官方题解：

最小K路径覆盖的模型，用费用流或者KM算法解决，构造二部图，X部有N*M个节点，源点向X部每个节点连一条边，流量1，费用0，Y部有N*M个节点，每个节点向汇点连一条边，流量1，费用0，如果X部的节点x可以在一步之内到达Y部的节点y，那么就连边x->y，费用为从x格子到y格子的花费能量减去得到的能量，流量1，再在X部增加一个新的节点，表示可以从任意节点出发K次，源点向其连边，费用0，流量K，这个点向Y部每个点连边，费用0，流量1，最这个图跑最小费用最大流，如果满流就是存在解，反之不存在，最小费用的相反数就是可以获得的最大能量

可以这样考虑，首先建立一个二分图，在x部内的可以到达y部的点建边

三：

解矩阵方程的模型。

题意：给出一个n行m列的矩阵和一个整数k，接下来n个数第i个数代表第i行所有数的总和，接下来给出m个数，第i个数代表第i列所有数的总和，问是否存在这样一个矩阵满足条件，且矩阵中的每个数都不大于k,不存在输出impossible，存在且有唯一解输出该矩阵，否则输出Not Unique;

建图：建立二部图，把行标列为x部，把列表列为Y部，设立源点source和汇点sink，把行标和源点建边，流量是行和，把列标和汇点建边流量是列和，然后把行标和列标两两相连，代表第i行第j列的数，流量为k，跑完一次最大流（Dinic或Isap）如果最大流量不等于所有数的总和，则无解，如果存在残留网络中存在一个正环（顶点个数>2且环的残余流量>0）则为多解，否则为唯一解，然后遍历遍历完所有的行标i以及行标j对应的列标，则

四:

题意：

求最小割，但因为最小割是不唯一的，题目要求得到最小割的条件下，使得割边最少，输出最少割边数

思路：

有两种做法，但本质是一样的

第一种：
建边的时候每条边权 w = w * (E + 1) + 1;
这样得到最大流 maxflow / (E + 1) ，最少割边数 maxflow % (E + 1)

道理很简单，如果原先两类割边都是最小割，那么求出的最大流相等
但边权变换后只有边数小的才是最小割了

乘（E+1）是为了保证边数叠加后依然是余数，不至于影响求最小割的结果

第二种：

建图，得到最大流后，图中边若满流，说明该边是最小割上的边

再建图，原则：满流的边改为容量为 1 的边，未满流的边改为容量 INF 的边，然后最大流即答案