BZOJ 1101([POI2007]Zap-满足x<=a&&y<=b&&gcd(x,y)=d的数对个数)

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本文解析了POI2007竞赛中的[Zap]问题，介绍了如何使用莫比乌斯反演解决该问题。通过具体样例展示了如何计算给定整数a、b和d的情况下，满足特定条件的整数对的数量。

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1101: [POI2007]Zap

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB
Submit: 1646 Solved: 577
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Description

FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2

HINT

对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（6,3），（3,3）。

Source

本题为mobius反演：

PS:计算过程不能用long long 不然TLE

公式推导

这部分让我们看看PoPoQQQ的PPT《莫比乌斯反演》

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a));
#define MAXN (50000+10) 
typedef long long ll;
int p[MAXN]={0},tot;
bool b[MAXN]={0};
int mu[MAXN]={0},sum[MAXN]={0};

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'&&ch>'9') { if (ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while(ch>='0'&&ch<='9') { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar(); }
	return x*f;
}

void make_prime(int n)
{
	tot=0; mu[1]=1;
	Fork(i,2,n)
	{
		if (!b[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1;
		For(j,tot)
		{
			if (i*p[j]>n) break;
			b[i*p[j]]=1;
			if (i%p[j]==0) { mu[i*p[j]]=0; break; }
			mu[i*p[j]]=-mu[i];  
		}
	}
	sum[0]=0;
	For(i,n) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
int n,m,d;
int calc() {
	int ans=0;
	
	for(int i=1,last=1;i<=n;i=last+1) {
		last=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
		
	}
	printf("%d\n",ans);
	return ans;
}

int main()
{
//	freopen("bzoj1101.in","r",stdin);
	MEM(p) MEM(b) MEM(mu) MEM(sum)
	
	int N = 50000;
	make_prime(N); 
	
	
	int T;T=read();
	while(T--)
	{
		n=read(); m=read(); d=read();  if (n>m) swap(n,m);
		n/=d,m/=d;
		calc();
	}
	
	return 0;
}