[高考数学]恒成立问题

问题例子

例：不等式 $x^2+ax+1>0$ 在$R$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围
解：对二次函数了解足够深入的话，可以想象出图像应该整体在$y=0$上方，只需 $\Delta <0$ 即 $a^2-4<0$, 然后我们可以很轻易的解出 $a$ 的范围为 $(-2,2)$

问题的抽象

对于任何恒成立的问题，我们均可以看成一种形式：$f(x,a)>0$，在集合A上恒成立。

方法

出于篇幅和时间，本篇只讲 “分离参数法”。

试想一下，如果问题可以转述为：不等式 $a>f(x)$在$[1,2]$ 上恒成立，求 $a$ 的范围。

那么最后$a$ 的解集就是 $a>f(x{)}_{(}max)$
想一下，为什么？

解释

我比你最大值大，不就一直比你大吗？就是恒成立了。

例题

$(1):x^2+ax+5>0在[1,2]上恒成立，求a的取值范围$
$(2):x^2+(a-5)x+7>0在R上恒成立，求a的取值范围$
$(3):\sqrt{x^2+1}+ax>0在(0,+\infty )上恒成立，求a的取值范围$