本文探讨了高中数学中恒成立问题的解决方法，特别是通过分离参数法来确定变量的取值范围。举例说明了如何解决不等式在特定区间或整个实数域上恒成立的问题，如 x2+ax+1>0 和 x2+ax+5>0 等，并提供了详细的解题步骤和解释。
问题例子
例：不等式
x
2
+
a
x
+
1
>
0
x^2+ax+1>0
x2+ax+1>0 在
R
R
R 上恒成立，求
a
a
a 的取值范围
解：对二次函数了解足够深入的话，可以想象出图像应该整体在
y
=
0
y=0
y=0上方，只需
Δ
<
0
\Delta < 0
Δ<0 即
a
2
−
4
<
0
a^2 -4 < 0
a2−4<0, 然后我们可以很轻易的解出
a
a
a 的范围为
(
−
2
,
2
)
(-2,2)
(−2,2)
问题的抽象
对于任何恒成立的问题，我们均可以看成一种形式： f ( x , a ) > 0 f(x,a) > 0 f(x,a)>0，在集合A上恒成立。
方法
出于篇幅和时间，本篇只讲 “分离参数法”。
试想一下，如果问题可以转述为：不等式 a > f ( x ) a>f(x) a>f(x)在 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2] 上恒成立，求 a a a 的范围。
那么最后
a
a
a 的解集就是
a
>
f
(
x
)
(
m
a
x
)
a>f(x)_(max)
a>f(x)(max)
想一下，为什么？
解释
我比你最大值大，不就一直比你大吗？就是恒成立了。
例题
(
1
)
:
x
2
+
a
x
+
5
>
0
在
[
1
,
2
]
上
恒
成
立
，
求
a
的
取
值
范
围
(1) : x^2 +ax +5 > 0 在[1,2]上恒成立，求a 的取值范围
(1):x2+ax+5>0在[1,2]上恒成立，求a的取值范围
(
2
)
:
x
2
+
(
a
−
5
)
x
+
7
>
0
在
R
上
恒
成
立
，
求
a
的
取
值
范
围
(2) : x^2 +(a-5)x +7 > 0 在R上恒成立，求a 的取值范围
(2):x2+(a−5)x+7>0在R上恒成立，求a的取值范围
(
3
)
:
x
2
+
1
+
a
x
>
0
在
(
0
,
+
∞
)
上
恒
成
立
，
求
a
的
取
值
范
围
(3) :\sqrt{x^2+1} +ax>0 在(0,+\infty)上恒成立，求a 的取值范围
(3):x2+1+ax>0在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围
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