筛法求素数

筛法

素数筛法

埃拉托斯特尼筛法

过程

考虑这样一件事情：对于任意一个大于 1 的正整数 n，那么它的 x 倍就是合数（ x > 1）。利用这个结论，我们可以避免很多次不必要的检测。

如果我们从小到大考虑每个数，然后同时把当前这个数的所有（比自己大的）倍数记为合数，那么运行结束的时候没有被标记的数就是素数了。

bool isPrime[100005] = {0};
int prime[10000];
int total = 0;

void init(int n) {
    for(int i = 0; i <= n; i++) isPrime[i] = true; //初始化
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;
}

int Eratosthenes(int n) {
    init(n);
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(isPrime[i]) {
            prime[total++] = i;
            for(long long j  = 1ll * i * i; j <= n; j += i)   isPrime[j] = false;
        }
    }
    return total;
}

要点

• if ( isPrime[i] ) 只有本身是素数才需要对它的倍数进行筛选（如不是素数，必然已经被它的质因数筛过了）
• long long j = i * i i * i有可能溢出 并且从i * i开始筛选（前面的必定已经被前面的筛过了）

Euler 筛法（欧拉筛法）

过程

我们不需要用一个for循环去筛除一个质数的所有倍数，我们将所有质数存储到primes[]中，然后枚举到第i个数时，就筛去所有的primes[j] * i。这样就在每一次遍历中，正好筛除了所有已知素数的 i 倍。

欧拉筛的核心思想就是确保每个合数只被最小质因数筛掉。或者说是被合数的最大因子筛掉。

if (i % prime[j] == 0) break很重要：

i 之前被 prime[j] 筛过了 ，由于 prime 里面质数是从小到大的，所以 i 乘上其他的质数的结果一定会被 prime[j] 的倍数筛掉，就不需要在这里先筛一次，所以这里直接 break 掉就好了
比如说 1 ，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11， 12
当i == 4 时 ： primes = {2, 3}
此时 4 % 2 == 0 , 如果不结束内层循环的话3 * 4被筛掉（就不满足被最小质因数筛掉），但是3 * 4 = 3 * 2 * 2
12会被3 ∗ 4 筛掉， 当 i == 6时，12又会被2 ∗ 6筛掉。

int Euler(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!isPrime[i])    prime[total++] = i;

        for (int j = 0; j < total; ++j) {
            if (1ll * i * prime[j] > n) break;
            isPrime[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    return total;
}

要点

• isPrime[i * prime[j]] = 1;每一个外层 i 表示已知的素数 应该 筛掉的倍数
• 当if (i % prime[j] == 0) ，说明 i 可以由更小的质因数分解，所以 i 乘上其他的质数的结果一定会被 prime[j] 的倍数筛掉，所以就不该由 i * （prime[j+1] 等 后面的质数）来筛。
• 1ll * i * prime[j] > n中的1ll 转化为long long 防止溢出。

【模板】线性筛素数

题目背景

本题已更新，从判断素数改为了查询第 $k$ 小的素数
提示：如果你使用 cin 来读入，建议使用 std::ios::sync_with_stdio(0) 来加速。

题目描述

如题，给定一个范围 $n$，有 $q$ 个询问，每次输出第 $k$ 小的素数。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,q$，分别表示查询的范围和查询的个数。

接下来 $q$ 行每行一个正整数 $k$，表示查询第 $k$ 小的素数。

输出格式

输出 $q$ 行，每行一个正整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

100 5
1
2
3
4
5

样例输出 #1

2
3
5
7
11

提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$n=10^8$，$1\le q\le 10^6$，保证查询的素数不大于 $n$。

Data by NaCly_Fish.

---

#include<stdio.h>
int prime[100000005] = {0};
int num[100000005];

void Oshai(int n) {
    int i, j, length = 0;
    for(i = 2; i <= n; i++) {
        if(!prime[i])   num[++length] = i;
        for(j = 1; j<=length && 1ll*i*num[j] <= n; j++) {
            prime[i*num[j]] = 1;
            if(i % num[j] == 0) break;
        }  
    }
}
void Eshai(int n) {
    int i, j, length = 0;
    for(i = 2; i <= n; i++)  {
        if(!prime[i]) {
            num[++length] = i;
            for(j = i; 1ll*i*j <= n; ++j)   prime[i*j] = 1;
            //for(j = 1ll*i*i; j <= n; j += i)    prime[j] = 1;
        }
    }
}
int main() {
    int n, q, m;
    scanf("%d%d", &n, &q);
    Eshai(n);
    while(q--) {
        scanf("%d", &m);
        printf("%d\n",num[m]);
    }
    return 0;
}