洛谷P3383 【模板】线性筛素数（即欧拉筛）

原创 已于 2024-02-03 21:11:47 修改 · 置顶 · 807 阅读 · 1 ·
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#算法 #c++

于 2022-09-14 21:07:52 首次发布
该博客介绍了如何使用线性筛（欧拉筛）算法解决大范围内的素数查询问题，避免了埃式筛可能导致的超时。文章详细解释了线性筛的工作原理，即每个数仅被其最小质因数筛掉，从而达到O(n)的时间复杂度。博主给出了C++实现代码，并提醒注意数据类型的选择以避免爆空间。此外，还提及了埃式筛的基本思想作为对比。

题目背景

本题已更新，从判断素数改为了查询第 kk 小的素数
提示：如果你使用 cin 来读入，建议使用 std::ios::sync_with_stdio(0) 来加速。

题目描述

如题，给定一个范围 nn，有 qq 个询问，每次输出第 kk 小的素数。

输入格式

第一行包含两个正整数 n,qn,q，分别表示查询的范围和查询的个数。

接下来 qq 行每行一个正整数 kk，表示查询第 kk 小的素数。

输出格式

输出 qq 行，每行一个正整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1复制

100 5
1
2
3
4
5

输出 #1复制

2
3
5
7
11

说明/提示

【数据范围】
对于 100\%100% 的数据，n = 10^8n=108，1 \le q \le 10^61≤q≤106，保证查询的素数不大于 nn。

Data by NaCly_Fish.

　　

这道题用埃式筛解题也不是不可以,不过应该会超时

所以这道题考察我们的应该是线性筛(即欧拉筛,下同）

而欧拉筛法的思想非常简单，就是我们要求每一个数都被且仅被其最小的质因数筛掉（这也是欧拉筛对于埃氏筛法的一个优化），这使得它的时间复杂度仅有O(n)

而有些同学可能要问了：埃式筛又是什么呢？

埃式筛的大体思想：要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。（详见百度百科）

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详细看——这样就对了！！！当显示以上页面时表示进入了注册页面。当注册好后就可以登陆了。当显示以上页面时表示进入了登录页面。
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学个新知识还是拿博客记录一下吧，方便以后再次遇到（思路和图片来源：洛谷学委，Eon_Floating，Lylighter_ P3383线性筛素数 图片转自洛谷网 if(i % Prime[j] == 0) break; 说说这步理由： 、、、 规则：个合数只会被它的最大非自身因数（对应最小质因数）筛。这样能保证每个合数只会被筛一次。 、、、i的最小质因数是Prime[j],如果j继续递增，会导致被多次筛。 、、、但是由于保证了筛去的合数日后将不会再被筛（总共只筛一次），复杂度是线性的。 /.
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那么一个素数p的贡献因该是，小于等于n/p的所有的数字的欧拉函数的和*2（除了1）对于一个gcd（a,b)=1,它等价于gcd(a*p,b*p)=p;通过线性筛处理出1-n所有的欧拉函数，再写一个前缀和数组即可做出本题。根据上面的性质则可以通过线性筛递推出1-n每个数字的欧拉函数。欧拉函数：给你一个数字p，表示1-p中与p互质的数的数量。考虑每一个质数p对答案的贡献，求出(a,b)的范围。利用线性筛去求快速求1-n每个数的欧拉函数模板。m时n*m的最小质因子，如果n是m的倍数时。
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题目描述 如题，给定一个范围 n，有q 个询问，每次输出第 k小的素数。 输入格式 第一行包含两个正整数 n,q，分别表示查询的范围和查询的个数。 接下来 q 行每行一个正整数 k，表示查询第 k 小的素数 输出格式 输出 q行，每行一个正整数表示答案。 原题点击欧拉筛跳转 入门——暴力枚举 从2到n遍历每一个数，对每个数k进行检测，看它是否为素数，符合要求的数放入prime数组。检测方法：j从1到根号k，检测k mod j是否能被整除，如果能，则不是素数。 复杂度分析：O(n^(3/2)) 外层循环n.
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欧拉线性筛 c++
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10-08
欧拉线性筛法不仅可用于筛选素数，还能计算其他与素数相关的数论函数，如欧拉函数φ(x)（表示小于x的、与x互质的数的个数）、1 - n之间每个数的因子个数、1 - n之间每个数的因数和等，在数学领域素数查找和相关数论问题研究，以及计算机科学领域的密码学等方面有广泛应用 [^1][^3]。 以下是几种不同应用场景下C++实现欧拉线性筛的代码示例： ### 筛选素数 ```cpp #include <vector> #include <iostream> using namespace std; void EulerSieve(int n) { vector<bool> isprime(n + 1, true); vector<int> prime; isprime[1] = false; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (isprime[i]) { prime.push_back(i); } for (int j = 0; j < prime.size() && i * prime[j] <= n; j++) { isprime[i * prime[j]] = false; if (i % prime[j] == 0) break; } } // 输出素数 for (int p : prime) { cout << p << " "; } } int main() { int n = 100; EulerSieve(n); return 0; } ``` 此代码通过欧拉筛法找出1到n之间的所有素数并输出 [^1]。 ### 线性筛法求欧拉函数 ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int primes[N], phi[N], cnt; bool state[N]; void get_eulers(int& n) { phi[1] = 1; for(int i = 2; i <= n; i++) { if(state[i] == false) { primes[cnt++] = i; phi[i] = i - 1; } for(int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) { state[i * primes[j]] = true; if(i % primes[j] == 0) { phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j]; break; } phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1); } } } int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); get_eulers(n); long long ans = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) ans += phi[i]; cout << ans << endl; return 0; } ``` 该代码利用欧拉筛法计算1到n的欧拉函数，并将结果累加输出 [^2]。 ### 针对洛谷P3383 【模板】线性筛素数的代码 ```cpp #include <cstdio> #define fi(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i) #define fd(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i) using namespace std; const int N=1e8+5; int n,m; int x; int prime[N],tot; bool vis[N]; template<typename T>void Read(T &x) { x=0;T k=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') k=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();} x*=k; } template<typename T>void Print(T x) { if(x<0){putchar('-');Print(-x);} if(x>9) Print(x/10); putchar((x%10)^48); } int main (void) { Read(n); Read(m); fi(i,2,n) { if(!vis[i]) prime[++tot]=i; for(int j=1;j<=tot&&i<=n/prime[j];++j) { vis[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==0) break; } } while(m--) { Read(x); Print(prime[x]);putchar(10); } return 0; } ``` 此代码可筛选1到n的素数，并回答m个询问 [^4]。 ### 欧拉筛（线性筛）模板 ```cpp #include <vector> void solve(int n) { vector<bool> isprime(n + 1, true); vector<int> prime; isprime[1] = false; for (int i = 2; i < n; i++) { if (isprime[i]) prime.push_back(i); for (int j = 0; j < prime.size() && i * prime[j] <= n; j++) { isprime[i * prime[j]] = false; if (i % prime[j] == 0) break; } } int cnt = prime.size(); } ``` 这是一个基本的欧拉筛模板，用于标记1到n之间的素数 [^5]。
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