最短路问题在程序竞赛中是经常出现的内容，解决单源最短路经问题的有bellman-ford和dijkstra两种算法，其中，dijikstra算法是对bellman的改进。同时介绍了floyd算法、SPFA算法。以这道例题开始讲解。
题目传送门：https://vjudge.net/problem/HDU-2544
最短路
在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？
Input
输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
Output
对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间
Sample Input
2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0
Sample Output
3
2
1.Dijkstra算法
课件见链接：https://pan.baidu.com/s/1cHHIz0（路径path课件）
例题代码：
#define N 1000
#define MAX 0x3f3f3f3f
int mpa[N][N];
int dis[N];
int vis[N];
int n,;
//dis存贮权值 vis是否执行过 mpa用邻接矩阵存贮
void dijkstra(int v0)
{
int mindis,i,j,u;
//初始化dis为v0行的权值，vis为0
memset(dis,MAX,sizeof(dis));
for(i=1; i<=n; i++)
{
dis[i]=mpa[v0][i];
vis[i]=0;
}
vis[v0]=1; //标记第一个v0走过
for(i=1; i<n; i++)//一共需要执行n-1轮
{
mindis=MAX;
for(j=1; j<=n; j++)
{
if(vis[j]==0 && dis[j]<mindis)
{
u=j;
mindis=dis[j];
}
}//寻找当前没有走过dis值最小的标号
vis[u]=1;//标记u走过
for(j=1; j<=n; j++)
{
if(vis[j]==0 && dis[u]+mpa[u][j]<dis[j])
dis[j]=dis[u]+mpa[u][j];
}//比较当前dis[u]+mpa[u][j]是否小于s[j]，取每次的最小
}
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0)
{
memset(mpa,MAX,sizeof(mpa));
for(int i=1; i<=m; i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
if(z<mpa[x][y])
mpa[x][y]=mpa[y][x]=z;
}
dijkstra(1);
cout<<dis[n]<<endl;
}
return 0;
}
2.Bellman_Ford算法
单源最短路是从一个点出发，到其他所有顶点的最短距离。起点是s，假如求s到顶点i的最短路(用数组d[i]表示s到i的最短距离,d[s]=0,d[i]=INF)，会有这样一个关系式：dis[i]=min[ dis[j]]+cost(从j到i的距离),e=(j,i)∈E} ] 即等于（s到j的最短距离加上j到i的距离）中的最小的，j是与i相连的顶点。
先反着想，想要求到i的就得求到j的，同样想要求到j的短距离，就得求与j相连的点的。这样追根溯源到s上，会发现此时d[s]是确定的，s到与其相连的顶点的距离也是确定的，原来还是得正着计算啊。
从s出发，因为两个值都是可以确定的，所以第一次执行那个式子后，与s相连的点的值都会被更新，并且会确定一个与s相连的点的最短路，再继续执行那个式子，又会确定一个（每次执行都要一个循环把所有的点试一遍，因为这样才能适用以任何一个点作为起点的情况），下面是代码：
#define INF 0x3f3f3f3f
struct edge{int from,to,cost;};
edge ee[max_e];//存储每条边的信息
int d[max_v];//表示s到每个顶点的最短距离
int v,e;//顶点数和边数
void bellman(int s){
memset(d,INF,sizeof(d));
d[s]=0;
while(true){
bool update=false;
for(int i=0;i<e;i++){
edge et=ee[i];
if(d[et.from]!=INF&&d[et.to]>d[et.from]+et.cost){
d[et.to]=d[et.from]+et.cost;
update=true;
}
}
if(!update) break;//如果不再进行更新就退出
}
}
然后在挑战程序设计竞赛上，又专门写了一个函数来判断是否有负圈，下面是代码：
//如果返回TRUE则存在负圈
bool find_negative_loop(){
memset(d,0,sizeof(d));
for(int i=0;i<v;i++){
for(int j=0;j<e;j++){
edge et=ee[i];
if(d[et.to]>d[et.from]+et.cost){
d[et.to]=d[et.from]+et.cost;
//如果第n次仍然更新了，则存在负圈；
if(i==v-1) return true;
}
}
}
return false;
}
因为如果不存在负圈，只需要循环v-1次就行了，所以在第一个代码的基础上稍微改动一下就行，只需要添加一个计数器。这是最终版代码：
//返回true计算最短路成功，返回false存在负圈；
bool bellman(int s){
memset(d,INF,sizeof(d));//赋最大值的技巧
d[s]=0;
int j=0;//添加的计数器
while(true){
bool update=false;
for(int i=0;i<e;i++){
edge et=ee[i];
if(d[et.from]!=INF&&d[et.to]>d[et.from]+et.cost){
d[et.to]=d[et.from]+et.cost;
update=true;
}
}
j++;
if(!update) return true;
if(j==v) return false;//当进行第v次循环时，说明存在负圈
}
}
这是针对于有向图来说的，如果是无向图，自己把from和to交换后再输入一次就好。
例题代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#define MAX 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct edge
{
int from,to,cost;
} e[20005];
int dis[1000],n,m;
int bellman(int s)
{
memset(dis,MAX,sizeof(dis));
dis[s]=0;
int j=0;
while(1)
{
int flag=0;
for(int i=1; i<=2*m; i++)
{
edge ee=e[i];
if(dis[ee.from]!=MAX && dis[ee.to]>dis[ee.from]+ee.cost)
{
dis[ee.to]=dis[ee.from]+ee.cost;
flag=1;
}
}
j++;
if(!flag)
return 1;
if(j==n)
return 0;
}
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0)
{
for(int i=1; i<=m; i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
e[i].from=x,e[i].to=y,e[i].cost=z;
e[i+m].from=y,e[i+m].to=x,e[i+m].cost=z;
}
if(bellman(1))
cout<<dis[n]<<endl;
}
return 0;
}
3.floyd算法
推荐博客：http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1383613
例题代码：
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define N 1000
#define MAX 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int mpa[N][N];
int n,m;
void floyd()
{
int i,j,k;
for(k=1; k<=n; k++)
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=1; j<=n; j++)
if(mpa[i][j]>mpa[i][k]+mpa[k][j])
mpa[i][j]=mpa[i][k]+mpa[k][j];
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0)
{
memset(mpa,MAX,sizeof(mpa));
for(int i=1; i<=m; i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
if(z<mpa[x][y])
mpa[x][y]=mpa[y][x]=z;
}
floyd();
cout<<mpa[1][n]<<endl;
}
return 0;
}
4.SPFA算法
适用范围：给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。
算法思想：我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止
复杂度：期望的时间复杂度O(ke)， 其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。
实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。
判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）
首先建立起始点a到其余各点的，最短路径表格：
首先源点a入队，当队列非空时。
１、队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时路径表格状态为：
在松弛时三个点的最短路径估值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点
需要入队，此时，队列中新入队了三个结点b,c,d。
2、队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此e也要入队，此时队列中的元素为c，d，e。
3、队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e，f的最短路径估值变小了，e在队列中存在，f不存在。因此e不用入队了，f要入队，此时队列中的元素为d，e，f
4、队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，g的最短路径估值没有变小（松弛不成功），没有新结点入队，队列中元素为f，g。
5、队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e，g的最短路径估值又变小，队列中无e点，e入队，队列中存在g这个点，g不用入队，此时队列中元素为g，e。
6、队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，b的最短路径估值又变小，队列中无b点，b入队，此时队列中元素为e，b。
7、队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，g的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列中元素为b。
8、队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此时路径表格状态为：
在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛不成功），此时队列为空了，最终a到g的最短路径为１４。
上面的过程其实可以发现，一只在重复以下过程：
队首元素出队top，以top为起始点，对所有边的终点依次进行松弛操作。在松弛时如果这些点的最短路径值变小了，而这些点队列中都没有出现，这些点需要入队。
例题代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#define MAX 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int mpa[1000][1000],n,m;
int dis[1000];
int vis[1000];
queue<int> que;
void spfa(int s)
{
dis[s]=0;
que.push(s);
vis[s]=1;
int i;
while(!que.empty())
{
int top=que.front();
que.pop();
vis[top]=0;
for(i=0; i<=n; i++) //对所有边的终点依次进行松弛操作
{
if(dis[i]>dis[top]+mpa[top][i]) // 如果这些点的最短路径值变小了
{
dis[i]=dis[top]+mpa[top][i];
if(vis[i]==0) // 而这些点队列中都没有出现
{
que.push(i); //入队
vis[i]=1;
}
}
}
}
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0)
{
memset(mpa,MAX,sizeof(mpa));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(dis,MAX,sizeof(dis));
for(int i=1; i<=m; i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
mpa[x][y]=mpa[y][x]=z;
}
spfa(1);
cout<<dis[n]<<endl;
}
return 0;
}
这里再推荐一个博客;http://blog.youkuaiyun.com/chenzhenyu123456/article/details/46670451
这个博客将记录路径加入到各个算法当中了，这也是一个很重要的应用。
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