Codeforces 338E 线段树

SHOHOKUKU

已于 2022-04-01 18:02:44 修改

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分类专栏：图论数据结构文章标签：算法

于 2022-04-01 18:02:29 首次发布

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题意

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题解

对于每一个 $j(1\leq j\leq n-len+1)$ ，求是否存在一个次序使 $b[i],1\leq i\leq len$ 。

对于 $l e n$ 长的 $b$ 与 $a$ 的子数组，令其升序排序。令 $c [i]$ 等于满足 $\geq h$ 的 $j$ 的数量。 $c [i]$ 单调不减，且满足条件的 $j$ 是一个 $a$ 子数组的后缀。满足条件当且仅当 $c[i]\geq i$ 。有两种证明策略。

一种是贪心策略。对于 $b$ ，依次考虑 $i$ ，贪心地取可以选取的，且未被 $i^\prime(i^\prime<i)$ 选取的 $A [j]$ 。若对于所有 $i$ 都能找到匹配的 $j$ ，则有 $c[i]\geq i$ 。

一种是根据 Hall 定理证明。问题等价于求完备匹配。若 $\geq h$ ，看作两个节点之间连接了一条无向边。对任一个 $b$ 的规模为 $k$ 子集 $S$ ，当且仅当与其连边的点集 $A (S)$ 规模满足 $\lvert A(S) \rvert \geq \lvert S\rvert$ ，二分图中存在完备匹配。由于 $j > i$ 时， $b [j]$ 连边的点集包含 $b [i]$ 连边的点集，故只用考虑点集中索引最大者即可。又由于 $c [i]$ 单调不减，则条件为 $c[i]\geq i$ 。

令 $f [i] = c [i] - i$ ，维护可区间修改的线段树。总时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int MAXN = 15E4 + 5, SZ = 1 << 19;
int N, L, H;
int A[MAXN], B[MAXN];

struct ST
{
    int dat[SZ], lz[SZ];
    void init(int k = 0, int l = 0, int r = L)
    {
        if (r - l == 1)
        {
            dat[k] = -(l + 1);
            return;
        }
        int m = (l + r) / 2, chl = k * 2 + 1, chr = k * 2 + 2;
        init(chl, l, m), init(chr, m, r);
        lz[k] = 0;
        dat[k] = min(dat[chl], dat[chr]);
    }
    void pushdown(int k)
    {
        if (lz[k] != 0)
        {
            int chl = k * 2 + 1, chr = k * 2 + 2;
            int x = lz[k];
            lz[k] = 0;
            lz[chl] += x, dat[chl] += x;
            lz[chr] += x, dat[chr] += x;
        }
    }
    void change(int a, int b, int x, int k = 0, int l = 0, int r = L)
    {
        if (r <= a || b <= l)
            return;
        if (a <= l && r <= b)
        {
            lz[k] += x, dat[k] += x;
            return;
        }
        pushdown(k);
        int m = (l + r) / 2, chl = k * 2 + 1, chr = k * 2 + 2;
        change(a, b, x, chl, l, m), change(a, b, x, chr, m, r);
        dat[k] = min(dat[chl], dat[chr]);
    }
} tr;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> N >> L >> H;
    for (int i = 0; i < L; ++i)
        cin >> B[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> A[i];
    sort(B, B + L);
    tr.init();
    for (int i = 0; i < L; ++i)
    {
        int pos = lower_bound(B, B + L, H - A[i]) - B;
        if (pos < L)
            tr.change(pos, L, 1);
    }
    int res = tr.dat[0] >= 0;
    for (int i = L; i < N; ++i)
    {
        int pos = lower_bound(B, B + L, H - A[i]) - B;
        if (pos < L)
            tr.change(pos, L, 1);
        pos = lower_bound(B, B + L, H - A[i - L]) - B;
        if (pos < L)
            tr.change(pos, L, -1);
        res += tr.dat[0] >= 0;
    }
    cout << res << '\n';
    return 0;
}